A matriz da transformação linear T: R^3 longrightarrow R^3 em relação a base alpha=(-1,2,3),(1,-2,3),(1,1,-3 é igual a [T]alpha^alpha=(ccc1 & 2 & 2 2 & 1 & 4 0 & 0 & 2).
(d) Existe algum vetor (a, b, c) in R^3 para o qual a equação T(x, y, z)=(a, b, c) não tem soluçâo?

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
;T:R^3toR^3\
cuja matriz em relação à base
alpha=(-1,2,3),(1,-2,3),(1,1,-3)
é
[T]alpha^alpha = 1 & 2 & 2 2 & 1 & 4 0 & 0 & 2
A pergunta (d) é: existe algum vetor (a,b,c) para o qual
T(x,y,z)=(a,b,c)
não tenha solução? Para responder, vamos verificar se T é sobrejetora, ou seja, se sua matriz é invertível.

Passo 2

Calculemos o determinante de [T]alpha^alpha. Como a matriz é triangular pelo último pivô, temos
det([T]alpha^alpha) =2;det1&22&1 =2,(1cdot1-2cdot2) =2,(1-4) =-6

Passo 3

Como det([T]alpha^alpha)neq0, a matriz é invertível. Logo T é um isomorfismo de R^3 em R^3, ou seja, é bijetora (em particular, sobrejetora).

Passo 4

Sendo T sobrejetora, para todo vetor (a,b,c)inR^3 existe pelo menos uma solução (x,y,z) tal que
T(x,y,z)=(a,b,c)

Resposta

Não existe vetor (a,b,c) para o qual a equação não tenha solução, pois T é sobrejetora (invertível).

Exercícios relacionados