Para cada uma das seguintes transformações lineares determine a matriz associada em termos das bases canônicas de R^n.
T(x, y)=(x-2 y, x-y, y-x, 3 x+y).

Passo 1

O enunciado pede a matriz de Tcolon R^2toR^4 definida por
T(x,y) = (,x - 2y,;x - y,;y - x,;3x + y,)
Para obter essa matriz nas bases canônicas, basta calcular as imagens de e1=(1,0) e e2=(0,1) e usar esses vetores como colunas.

Passo 2

Calcular T(e1) com e1=(1,0). Substituindo x=1 e y=0 em cada componente:
T(e1) =l(1-2cdot0,;1-0,;0-1,;3cdot1+0r) =(1,,1,,-1,,3)

Passo 3

Calcular T(e2) com e2=(0,1). Substituindo x=0 e y=1 em cada componente:
T(e2) =l(0-2cdot1,;0-1,;1-0,;3cdot0+1r) =(-2,,-1,,1,,1)

Passo 4

A matriz de T na base canônica tem como primeira coluna T(e1) e como segunda coluna T(e2). Portanto,
[T] = 1 & -2 1 & -1 -1& 1 3 & 1

Resposta

1 & -2 1 & -1 -1& 1 3 & 1

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