Mostre que a transformação linear T(x, y, z)=(2 x+y-4 z,-4 x-y+6 z,-2 x+2 y-2 z) não é invertível.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (2x + y - 4z,;-4x - y + 6z,;-2x + 2y - 2z)
e pede para mostrar que ela não é invertível. O critério que vamos usar é que uma transformação linear em R^3 é invertível se, e somente se, a matriz associada à transformação na base canônica tiver determinante distinto de zero.

Passo 2

Obtemos a matriz de T na base canônica e1,e2,e3 como
A = 2 & 1 & -4 -4 & -1 & 6 -2 & 2 & -2

Passo 3

Para verificar a invertibilidade, calculamos
det(A) =2-1 & 62 & -2 -1-4 & 6-2 & -2 +(-4)-4 & -1-2 & 2

Passo 4

Calculando cada determinante 2times2:
-1 & 62 & -2 =(-1)(-2)-6cdot2=2-12=-10,
-4 & 6-2 & -2 =(-4)(-2)-6(-2)=8+12=20,
-4 & -1-2 & 2 =(-4)cdot2-(-1)(-2)=-8-2=-10
Substituindo em det(A):
det(A)=2(-10)-1(20)+(-4)(-10)=-20-20+40=0
Como det(A)=0, concluímos que T não é invertível.

Resposta

A transformação T não é invertível, pois a matriz associada tem determinante zero.

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