Mostre que a transformação linear T(x, y, z)=(x+2 y-z, 2 x+2 y+4 z, x+3 y-3 z) é invertível e determine a transformação inversa.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
TcolonR^3toR^3, T(x,y,z)=(x+2y-z,;2x+2y+4z,;x+3y-3z),
e pede para mostrar que ela é invertível e achar T^-1. Vamos usar matriz na base canônica, cálculo de determinante e resolução de sistema linear para obter a inversa.

Passo 2

Escrevemos a matriz de T na base canônica como
A= 1 & 2 & -1 2 & 2 & 4 1 & 3 & -3

Passo 3

Calculamos o determinante de A por desenvolvimento na primeira linha:
det A =1cdotdet2&43&-3 -2cdotdet2&41&-3 +(-1)cdotdet2&21&3
det A =1cdot(2cdot(-3)-4cdot3) -2cdot(2cdot(-3)-4cdot1) -1cdot(2cdot3-2cdot1)
det A=-18-2cdot(-10)-4=-18+20-4=-2neq0
Como det Aneq0, T é invertível.

Passo 4

Para achar
em função de :
Somando a primeira equação multiplicada por 2 à segunda, obtemos
Então
Por fim, de (x+2y-z=u] segue

Passo 5

Juntando tudo, a inversa T^-1colonR^3toR^3 em coordenadas (u,v,w) é
T^-1(u,v,w) =gl(18u-3v-10w2,;v+3w-5u,;v+2w-4u2gr)

Resposta

A transformação é invertível pois det A=-2neq0 e
T^-1(u,v,w) =(18u-3v-10w2,;v+3w-5u,;v+2w-4u2)

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