Mostre que a transformação linear é invertível e determine a transformação inversa.
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear
e pede para mostrar que ela é invertível e achar . Vamos usar matriz na base canônica, cálculo de determinante e resolução de sistema linear para obter a inversa.
Passo 2
Escrevemos a matriz de na base canônica como
Passo 3
Calculamos o determinante de A por desenvolvimento na primeira linha:
det A =1cdotdet2&43&-3 -2cdotdet2&41&-3 +(-1)cdotdet2&21&3
det A =1cdot(2cdot(-3)-4cdot3) -2cdot(2cdot(-3)-4cdot1) -1cdot(2cdot3-2cdot1)
det A=-18-2cdot(-10)-4=-18+20-4=-2neq0
Como det Aneq0, T é invertível.
Passo 4
Para achar
em função de :
Somando a primeira equação multiplicada por 2 à segunda, obtemos
Então
Por fim, de (x+2y-z=u] segue
Passo 5
Juntando tudo, a inversa T^-1colonR^3toR^3 em coordenadas (u,v,w) é