Mostre que as seguintes transformações
são lineares:
definida por
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dada a transformação
definida por . - A pergunta é: mostrar que
é linear, ou seja, provar que a transformação preserva soma de vetores e multiplicação por escalar.
Informações relevantes dadas:
- A regra explícita de
para um vetor genérico é conhecida e será usada diretamente nos cálculos.
Passo 2
Recordando a definição de transformação linear (explicação didática):
- Uma aplicação
é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , valem as duas propriedades:
- Aqui
e são notações para trabalhar com componentes. A ideia intuitiva: linear significa que “distribui” sobre soma e “puxa para fora” escalares.
Passo 3
Verificação da aditividade
(passo-a-passo):
- Seja
e . - Primeiro calcule
:
- Agora aplique
a :
- Desenvolvendo os parênteses:
- Reescrevendo como soma de vetores:
- Mas
e . Logo:
Passo 4
Verificação da homogeneidade
(passo-a-passo):
- Seja
e . - Primeiro calcule
:
- Aplique
a :
- Fatorando
nas componentes:
- Como
, concluímos:
Passo 5
Conclusão intermediária (sem repetir textualmente a resposta final): foram verificadas as duas propriedades exigidas pela definição de linearidade — preservação de soma e de multiplicação por escalar — usando a expressão explícita de
.
Passo 6
Representação matricial (útil para prova e cálculo rápido; explicação didática):
- Uma transformação linear de
pode ser escrita como multiplicação por uma matriz de ordem . Para dada, basta ver a imagem dos vetores canônicos e :
- Colocando essas imagens como colunas, obtemos a matriz
- Verificação rápida: para um vetor genérico
,
que coincide com
. Isso reforça que
é uma transformação definida por uma matriz linear (portanto linear).]
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar (didático e prático):
- Tome
. Pela regra de :
- Pelo produto matricial com
:
confirmando o cálculo e a forma matricial.]
Resposta
A transformação
é linear.