Mostre que as seguintes transformações F são lineares:
F: R^{2} \rightarrow R^{2} definida por F(x, y)=(2 x-y, x).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dada a transformação F: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por F(x,y)=(2x-y,\;x).
  • A pergunta é: mostrar que F é linear, ou seja, provar que a transformação preserva soma de vetores e multiplicação por escalar.
Informações relevantes dadas:
  • A regra explícita de F para um vetor genérico (x,y) é conhecida e será usada diretamente nos cálculos.

Passo 2

Recordando a definição de transformação linear (explicação didática):
  • Uma aplicação F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
F(u+v)=F(u)+F(v)
F(\alpha u)=\alpha F(u)
  • Aqui u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2) são notações para trabalhar com componentes. A ideia intuitiva: linear significa que F “distribui” sobre soma e “puxa para fora” escalares.

Passo 3

Verificação da aditividade F(u+v)=F(u)+F(v) (passo-a-passo):
  • Seja u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2).
  • Primeiro calcule u+v:
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
  • Agora aplique F a u+v:
F(u+v)=F(x_1+x_2,\;y_1+y_2)=\bigl(2(x_1+x_2)-(y_1+y_2),\;x_1+x_2\bigr).
  • Desenvolvendo os parênteses:
F(u+v)=\bigl(2x_1-y_1 + 2x_2-y_2,\;x_1+x_2\bigr).
  • Reescrevendo como soma de vetores:
F(u+v)=\bigl(2x_1-y_1,\;x_1\bigr)+\bigl(2x_2-y_2,\;x_2\bigr).
  • Mas \bigl(2x_1-y_1,\;x_1\bigr)=F(u) e \bigl(2x_2-y_2,\;x_2\bigr)=F(v). Logo:
F(u+v)=F(u)+F(v).

Passo 4

Verificação da homogeneidade F(\alpha u)=\alpha F(u) (passo-a-passo):
  • Seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(x_1,y_1).
  • Primeiro calcule \alpha u:
\alpha u=(\alpha x_1,\;\alpha y_1).
  • Aplique F a \alpha u:
F(\alpha u)=F(\alpha x_1,\;\alpha y_1)=\bigl(2(\alpha x_1)-(\alpha y_1),\;\alpha x_1\bigr).
  • Fatorando \alpha nas componentes:
F(\alpha u)=\bigl(\alpha(2x_1-y_1),\;\alpha x_1\bigr)=\alpha\bigl(2x_1-y_1,\;x_1\bigr).
  • Como \bigl(2x_1-y_1,\;x_1\bigr)=F(u), concluímos:
F(\alpha u)=\alpha F(u).

Passo 5

Conclusão intermediária (sem repetir textualmente a resposta final): foram verificadas as duas propriedades exigidas pela definição de linearidade — preservação de soma e de multiplicação por escalar — usando a expressão explícita de F.

Passo 6

Representação matricial (útil para prova e cálculo rápido; explicação didática):
  • Uma transformação linear de \mathbb{R}^2 pode ser escrita como multiplicação por uma matriz A de ordem 2\times2. Para F dada, basta ver a imagem dos vetores canônicos e_1=(1,0) e e_2=(0,1):
F(e_1)=F(1,0)=(2\cdot1-0,\;1)=(2,1), \qquad F(e_2)=F(0,1)=(2\cdot0-1,\;0)=(-1,0).
  • Colocando essas imagens como colunas, obtemos a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
  • Verificação rápida: para um vetor genérico (x,y),
A\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2x-y\\[4pt] x\end{pmatrix},
que coincide com F(x,y). Isso reforça que F é uma transformação definida por uma matriz linear (portanto linear).]

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar (didático e prático):
  • Tome (x,y)=(3,2). Pela regra de F:
F(3,2)=(2\cdot3-2,\;3)=(6-2,\;3)=(4,3).
  • Pelo produto matricial com A:
\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\[2pt] 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6-2\\[4pt] 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\[4pt] 3\end{pmatrix},
confirmando o cálculo e a forma matricial.]

Resposta

A transformação F é linear.

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