Para cada a>0, seja S(a) a área delimitada pelo gráfico da função f(x)=1 /(1+t^2), com x in[-a, a], e o eixo O x (veja figura abaixo). Como f é par, pode-se calcular a área S(a) como sendo o dobro da área compreendida no primeiro quadrante.
Utilize a substituição trigonométrica x=tan (theta) para encontrar uma primitiva para a função 1 /(1+r^2).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva de
11+r^2
usando a substituição trigonométrica r=tan(theta). O conteúdo aqui é “integração por substituição”, em particular a substituição que simplifica 1+tan^2(theta).

Passo 2

Fazendo
r = tan(theta), temos dr = sec^2(theta),dtheta
e
1 + r^2 = 1 + tan^2(theta) = sec^2(theta)
Substituindo na integral,
integral 11+r^2,dr = integral 1sec^2(theta);sec^2(theta),dtheta = integral 1,dtheta

Passo 3

A integral de 1 em relação a theta é
integral 1,dtheta = theta + C
Para voltar à variável original, usamos theta = arctan(r). Logo a primitiva fica
integral 11+r^2,dr = arctan(r) + C

Resposta

integral 11+r^2,dr = arctan(r) + C

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