Nos problemas 1-4, use o teorema da convolução para obter uma fórmula para a solução do problema de valor inicial dado, em que
é contínuo por partes em
e de ordem exponencial.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
onde
é contínua por partes e de ordem exponencial. Vamos usar transformada de Laplace e, em seguida, o teorema da convolução para obter a solução em forma de integral.
Passo 2
Apliquemos a transformada de Laplace. Denotando
e
, tem-se
logo a equação transformada é
Reagrupando,
Passo 3
O termo
é a transformada de
, pois
Portanto, a parte homogênea da solução no tempo é
Passo 4
Para o termo
usamos o teorema da convolução. Note que
Então
Passo 5
Somando a parte homogênea e a parte dada pela convolução, obtemos a solução geral do IVP: