Nos problemas 1-4, use o teorema da convolução para obter uma fórmula para a solução do problema de valor inicial dado, em que g(t) é contínuo por partes em [0, infty) e de ordem exponencial.
y^prime prime+9 y=g(t) ; y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'' + 9,y = g(t), y(0)=1, y'(0)=0,
onde g(t) é contínua por partes e de ordem exponencial. Vamos usar transformada de Laplace e, em seguida, o teorema da convolução para obter a solução em forma de integral.

Passo 2

Apliquemos a transformada de Laplace. Denotando Y(s)=Ly(t) e G(s)=Lg(t), tem-se
Ly'' = s^2,Y(s) - s,y(0) - y'(0) = s^2,Y(s) - s,
logo a equação transformada é
s^2,Y(s) - s + 9,Y(s) = G(s)
Reagrupando,
Y(s),(s^2+9) = G(s) + s Longrightarrow Y(s) = ss^2+9 ;+;G(s)s^2+9

Passo 3

O termo dfracss^2+9 é a transformada de cos(3t), pois
Lcos(3t) = ss^2+3^2
Portanto, a parte homogênea da solução no tempo é
yh(t) = cos(3t)

Passo 4

Para o termo dfracG(s)s^2+9 usamos o teorema da convolução. Note que
L^-1!l1s^2+9r = 13,sin(3t)
Então
L^-1!lG(s)s^2+9r = integral0^t13,sinl(3,(t-tau)r),g(tau),dtau

Passo 5

Somando a parte homogênea e a parte dada pela convolução, obtemos a solução geral do IVP:
y(t) = cos(3t) ;+;13integral0^tsinl(3,(t-s)r),g(s),ds

Resposta

y(t) = cos(3t) ;+;13integral0^tsinl(3,(t-s)r),g(s),ds

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