Nos problemas 5-12, use o teorema da convolução para achar a transformada de Laplace inversa da função dada.
14(s+2)(s-5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usarmos o Teorema da Convolução para encontrar a transformada de Laplace inversa da função dada:
14(s+2)(s-5)
Aqui, estamos lidando com transformadas de Laplace e o Teorema da Convolução, que nos ajuda a encontrar a transformada inversa de produtos de funções no domínio de s .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Convolução. Esse teorema diz que se temos duas funções F(s) e G(s) com transformadas inversas f(t) e g(t) , respectivamente, então a transformada inversa do produto F(s)G(s) é a convolução de f(t) e g(t) :
L^-1F(s)G(s) = (f * g)(t) = integral0^t f(tau)g(t - tau) dtau
No nosso caso, queremos aplicar esse teorema para a função 14(s+2)(s-5) .

Passo 3

Vamos reescrever a função de uma forma que possamos identificar F(s) e G(s) . Podemos fatorar a constante 14:
14(s+2)(s-5) = 14 cdot 1(s+2)(s-5)
Agora, identificamos F(s) = 1s+2 e G(s) = 1s-5 .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as transformadas inversas de F(s) e G(s) :
  • Para F(s) = 1s+2 , sabemos que:
L^-11s+a = e^-at
Então,
f(t) = e^-2t
  • Para G(s) = 1s-5 , usando a mesma regra:
L^-11s-5 = e^5t
Então,
g(t) = e^5t

Passo 5

Agora que temos f(t) = e^-2t e g(t) = e^5t , vamos aplicar o Teorema da Convolução:
L^-114(s+2)(s-5) = 14 cdot (f * g)(t) = 14 cdot integral0^t e^-2tau cdot e^5(t - tau) dtau

Passo 6

Vamos simplificar a integral:
14 cdot integral0^t e^-2tau cdot e^5(t - tau) dtau = 14 cdot e^5t integral0^t e^-2tau cdot e^-5tau dtau = 14 cdot e^5t integral0^t e^-7tau dtau

Passo 7

Integrando e^-7tau :
integral0^t e^-7tau dtau = [ -17 e^-7tau ]0^t = -17 e^-7t + 17
Simplificando:
17 (1 - e^-7t)

Passo 8

Substituindo de volta na expressão:
14 cdot e^5t cdot 17 (1 - e^-7t) = 2 cdot e^5t (1 - e^-7t)
Distribuindo:
2 e^5t - 2 e^5t cdot e^-7t = 2 e^5t - 2 e^-2t

Resposta

A transformada de Laplace inversa da função dada é:
L^-114(s+2)(s-5) = 2 e^5t - 2 e^-2t

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