Nos problemas 5-12, use o teorema da convolução para achar a transformada de Laplace inversa da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usarmos o Teorema da Convolução para encontrar a transformada de Laplace inversa da função dada:
Aqui, estamos lidando com transformadas de Laplace e o Teorema da Convolução, que nos ajuda a encontrar a transformada inversa de produtos de funções no domínio de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Convolução. Esse teorema diz que se temos duas funções
e
com transformadas inversas
e
, respectivamente, então a transformada inversa do produto
é a convolução de
e
:
No nosso caso, queremos aplicar esse teorema para a função
.
Passo 3
Vamos reescrever a função de uma forma que possamos identificar
e
. Podemos fatorar a constante 14:
Agora, identificamos
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as transformadas inversas de
e
:
- Para
, sabemos que:
Então,
- Para
, usando a mesma regra:
Então,
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos aplicar o Teorema da Convolução:
Passo 6
Vamos simplificar a integral:
Passo 7
Integrando
:
Simplificando:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão:
Distribuindo:
Resposta
A transformada de Laplace inversa da função dada é: