Nos problemas 1-4, use o teorema da convolução para obter uma fórmula para a solução do problema de valor inicial dado, em que g(t) é contínuo por partes em [0, infty) e de ordem exponencial.
y^prime prime+4 y^prime+5 y=g(t);
y(0)=1, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y'' + 4y' + 5y = g(t), y(0)=1,; y'(0)=1,
usando o teorema da convolução. O conteúdo aqui é transformada de Laplace e convolução, pois g(t) é uma função de ordem exponencial.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação. Seja Y(s)= Ly(t) e G(s)= Lg(t). Temos
Ly'' = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0), Ly' = sY(s) - y(0),
portanto
s^2Y(s) - scdot1 - 1 +4l(sY(s)-1r) +5Y(s) =G(s)

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s) e os termos conhecidos,
l(s^2+4s+5r),Y(s) - l(s+1+4r) =G(s),
isto é,
l(s^2+4s+5r),Y(s) = G(s) + (s+5)
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Y(s) = s+5s^2+4s+5 ;+; G(s)s^2+4s+5

Passo 4

Para inverter Y(s) nota-se que
s^2+4s+5 = (s+2)^2+1
Dividimos a parte inicial:
s+5s^2+4s+5 = (s+2)+3(s+2)^2+1 = s+2(s+2)^2+1 + 3(s+2)^2+1

Passo 5

Invertendo esses dois termos:
L^-1!ls+2(s+2)^2+1r = e^-2tcos t, L^-1!l3(s+2)^2+1r =3,e^-2tsin t
Portanto a parte correspondente às condições iniciais é
yrm hom(t) = e^-2tcos t + 3,e^-2tsin t

Passo 6

A segunda parcela em Y(s) é
G(s)s^2+4s+5 = G(s),1(s+2)^2+1,
e, pelo teorema da convolução,
L^-1!lG(s)s^2+4s+5r = integral0^t e^-2(t-tau)sinl(t-taur),g(tau),dtau

Resposta

y(t) = e^-2tcos t + 3,e^-2tsin t + integral0^t e^-2(t-tau)sinl(t-taur),g(tau),dtau

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