Reescreva usando produtos notáveis.
(12+x^2)^3-(raiz32 x-12)^2

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a expressão
l(tfrac12 + x^2r)^3;-;l(tfracraiz32,x - tfrac12r)^2
usando produtos notáveis. Vamos aplicar as fórmulas
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3, (alpha - beta)^2 = alpha^2 - 2alphabeta + beta^2

Passo 2

Na parte l(tfrac12 + x^2r)^3 tomamos a = tfrac12 e b = x^2. Então
l(tfrac12 + x^2r)^3 = l(tfrac12r)^3 + 3l(tfrac12r)^2x^2 + 3l(tfrac12r)x^4 + x^6
Calculando coeficientes,
l(tfrac12r)^3 = tfrac18, 3l(tfrac12r)^2 = 3cdottfrac14 = tfrac34, 3l(tfrac12r) = tfrac32
Logo
l(tfrac12 + x^2r)^3 = x^6 + tfrac32,x^4 + tfrac34,x^2 + tfrac18

Passo 3

Na parte l(tfracraiz32x - tfrac12r)^2 tomamos alpha = tfracraiz32x e beta = tfrac12. Então
l(tfracraiz32x - tfrac12r)^2 = l(tfracraiz32xr)^2 -2l(tfracraiz32xr)l(tfrac12r) + l(tfrac12r)^2
Calculando,
l(tfracraiz32xr)^2 = tfrac34,x^2, 2cdottfracraiz32cdottfrac12 = tfracraiz32, l(tfrac12r)^2 = tfrac14
Logo
l(tfracraiz32x - tfrac12r)^2 = tfrac34,x^2 - tfracraiz32,x + tfrac14

Passo 4

Subtraindo as duas expansões e juntando termos semelhantes, temos
x^6 + tfrac32,x^4 + tfrac34,x^2 + tfrac18 ;-; l(tfrac34,x^2 - tfracraiz32,x + tfrac14r)
Isso dá
x^6 + tfrac32,x^4 + l(tfrac34 - tfrac34r)x^2 + tfrac18 - tfrac14 + tfracraiz32,x = x^6 + tfrac32,x^4 + 0cdot x^2 - tfrac18 + tfracraiz32,x

Resposta

x^6 + tfrac32,x^4 + tfracraiz32,x - tfrac18

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