Integre
no sentido antihorário ao redor de:
da borda do quadrado de lados
;
da borda do quadrado de lados
Passo 1
O enunciado pede para calcular
ao redor do quadrado com vértices
, percorrido no sentido antihorário.
O conteúdo envolvido é integral de linha de um campo vetorial singular em e uso do Teorema de Green ou interpretação como variação do ângulo
.
O conteúdo envolvido é integral de linha de um campo vetorial singular em
Passo 2
Definimos o campo vetorial
de modo que
Assim a integral torna-se
.
Passo 3
Aplicamos o Teorema de Green numa região que é o quadrado menos um disco pequeno ao redor da origem. Como
em todo ponto fora de
, a integral sobre a fronteira externa (o quadrado) é igual à integral sobre a fronteira interna (o círculo pequeno), mas com sinal trocado. Logo
Passo 4
Parametrizamos o círculo de raio
por
Então
e
. Logo
Passo 5
Voltando ao fator
, temos