Integre 12 pi ointC x d y-y d xx^2+y^2 no sentido antihorário ao redor de:
da borda do quadrado de lados (-1,-1),(-1,1),(1,1),(1,-1);

Passo 1

O enunciado pede para calcular
12piointCx,dy - y,dxx^2+y^2
ao redor do quadrado com vértices (-1,-1),(-1,1),(1,1),(1,-1), percorrido no sentido antihorário.
O conteúdo envolvido é integral de linha de um campo vetorial singular em (0,0) e uso do Teorema de Green ou interpretação como variação do ângulo theta.

Passo 2

Definimos o campo vetorial
F(x,y)=l(P(x,y),,Q(x,y)r) =l(-yx^2+y^2,,xx^2+y^2r)
de modo que
Fcdot dr =P,dx+Q,dy =-yx^2+y^2,dx+xx^2+y^2,dy =x,dy - y,dxx^2+y^2
Assim a integral torna-se ointCFcdot dr.

Passo 3

Aplicamos o Teorema de Green numa região que é o quadrado menos um disco pequeno ao redor da origem. Como
partial Qpartial x-partial Ppartial y =0
em todo ponto fora de (0,0), a integral sobre a fronteira externa (o quadrado) é igual à integral sobre a fronteira interna (o círculo pequeno), mas com sinal trocado. Logo
ointquadradoFcdot dr =ointcírculo pequenoFcdot dr í

Passo 4

Parametrizamos o círculo de raio varepsilon por
x=varepsiloncos t, y=varepsilonsin t, tin[0,2pi]
Então
x,dy-y,dx =varepsiloncos tcdot(varepsiloncos t,dt) -varepsilonsin tcdot(-varepsilonsin t,dt) =varepsilon^2(cos^2t+sin^2t),dt =varepsilon^2,dt,
e x^2+y^2=varepsilon^2. Logo
ointcírculox,dy - y,dxx^2+y^2 =integral0^2pivarepsilon^2,dtvarepsilon^2 =integral0^2pidt =2pi í

Passo 5

Voltando ao fator tfrac12pi, temos
12piointCx,dy - y,dxx^2+y^2 =12picdot 2pi =1

Resposta

1

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