Considere a função f dada por
f(x)=sumn=0^+infty x^nn!
Mostre que f é contínua.

Passo 1

O enunciado define
que é uma série de potências com raio de convergência infinito. Cada termo é uma função polinomial, portanto contínua. Para concluir que a soma é contínua em , basta mostrar que a série converge uniformemente em cada intervalo compacto, pois o limite uniforme de funções contínuas é contínuo.

Passo 2

Seja R>0 e considere o intervalo [-R,R]. Para todo xin[-R,R] e todo n>=0, vale
|x^nn!|<=R^nn!
Defina Mn = R^n/n!. Então
sumn=0^inftyMn = sumn=0^inftyR^nn! = e^R < +infty
Pelo critério de Weierstrass (M-teste), a série sum x^n/n! converge uniformemente em [-R,R].

Passo 3

Cada função parcial
SN(x)=sumn=0^Nx^n/n!
é contínua em [-R,R] (soma de polinômios). Como a convergência é uniforme, o limite
f(x)=limNtoinftySN(x)
é contínuo em [-R,R].

Passo 4

Como foi arbitrário, concluímos que é contínua em todo .

Resposta

A função f(x)=sumn=0^inftyx^n/n! é contínua em R.

Exercícios relacionados