que é uma série de potências com raio de convergência infinito. Cada termo é uma função polinomial, portanto contínua. Para concluir que a soma é contínua em , basta mostrar que a série converge uniformemente em cada intervalo compacto, pois o limite uniforme de funções contínuas é contínuo.
Passo 2
Seja e considere o intervalo . Para todo e todo , vale
Defina Mn = R^n/n!. Então
sumn=0^inftyMn = sumn=0^inftyR^nn! = e^R < +infty
Pelo critério de Weierstrass (M-teste), a série sum x^n/n! converge uniformemente em [-R,R].
Passo 3
Cada função parcial SN(x)=sumn=0^Nx^n/n!
é contínua em [-R,R] (soma de polinômios). Como a convergência é uniforme, o limite f(x)=limNtoinftySN(x)
é contínuo em [-R,R].
Passo 4
Como foi arbitrário, concluímos que é contínua em todo .