Para cada sequência abaixo, determine se ela é não crescente, não decrescente ou não monótona. Além disso, determine se a sequência é limitada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a sequência
e descobrir se ela é não crescente, não decrescente ou não monótona. Além disso, também vamos verificar se essa sequência é limitada. Para isso, vamos usar conceitos de análise de sequências e comportamento assintótico. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada termo:
- Não crescente: a sequência não aumenta à medida que n aumenta.
- Não decrescente: a sequência não diminui à medida que n aumenta.
- Não monótona: a sequência não segue uma tendência clara de aumento ou diminuição.
- Limitada: existe um número que serve como limite superior e outro como limite inferior para todos os termos da sequência.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento da sequência
. Para isso, vamos observar como ela se comporta quando n cresce. Sabemos que
, que diminui muito rápido conforme n aumenta. Por outro lado, n cresce linearmente. Então, precisamos ver qual crescimento domina.
Passo 4
Para entender melhor, podemos calcular alguns termos da sequência:
Observamos que conforme n aumenta,
está diminuindo. Isso sugere que a sequência é não crescente.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Sabemos que
é sempre positivo e n também é positivo para n natural. Portanto,
será sempre positivo. Além disso, já vimos que os termos estão diminuindo e nunca se tornam negativos. Então, a sequência está limitada abaixo por 0.
Para o limite superior, o primeiro termo
é o maior da sequência, já que os termos seguintes diminuem. Assim, a sequência está limitada acima por aproximadamente 0,3679.
Resposta
A sequência
é não crescente e está limitada.