Para cada sequência abaixo, determine se ela é não crescente, não decrescente ou não monótona. Além disso, determine se a sequência é limitada.
an=n e^-n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a sequência an = n e^-n e descobrir se ela é não crescente, não decrescente ou não monótona. Além disso, também vamos verificar se essa sequência é limitada. Para isso, vamos usar conceitos de análise de sequências e comportamento assintótico. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada termo:
  • Não crescente: a sequência não aumenta à medida que n aumenta.
  • Não decrescente: a sequência não diminui à medida que n aumenta.
  • Não monótona: a sequência não segue uma tendência clara de aumento ou diminuição.
  • Limitada: existe um número que serve como limite superior e outro como limite inferior para todos os termos da sequência.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento da sequência an = n e^-n . Para isso, vamos observar como ela se comporta quando n cresce. Sabemos que e^-n = 1e^n , que diminui muito rápido conforme n aumenta. Por outro lado, n cresce linearmente. Então, precisamos ver qual crescimento domina.

Passo 4

Para entender melhor, podemos calcular alguns termos da sequência:
  • a1 = 1 cdot e^-1 approx 0,3679
  • a2 = 2 cdot e^-2 approx 0,2707
  • a3 = 3 cdot e^-3 approx 0,1494
  • a4 = 4 cdot e^-4 approx 0,0733
Observamos que conforme n aumenta, an está diminuindo. Isso sugere que a sequência é não crescente.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Sabemos que e^-n é sempre positivo e n também é positivo para n natural. Portanto, an = n e^-n será sempre positivo. Além disso, já vimos que os termos estão diminuindo e nunca se tornam negativos. Então, a sequência está limitada abaixo por 0.
Para o limite superior, o primeiro termo a1 approx 0,3679 é o maior da sequência, já que os termos seguintes diminuem. Assim, a sequência está limitada acima por aproximadamente 0,3679.

Resposta

A sequência an = n e^-n é não crescente e está limitada.

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