Uma população de bactérias cresce de forma que, a cada hora, o número de indivíduos aumenta
em relação ao total da hora anterior. Inicialmente, há
bactérias.
Suponha que
. Determine aproximadamente quanto tempo é necessário para que a população dobre de tamanho.
Suponha que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que uma população de bactérias cresce 5,9% a cada hora e que queremos saber quanto tempo demora para essa população dobrar de tamanho. Para resolver isso, vamos usar a matéria de crescimento exponencial e uma fórmula que nos ajuda a calcular o tempo necessário para que algo dobre de valor com uma certa taxa de crescimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do crescimento exponencial. Se a população inicial é
e cresce
a cada hora, depois de
horas a população será:
Aqui,
é a taxa de crescimento por período (no nosso caso, por hora).
Passo 3
Queremos que a população dobre, ou seja, queremos que
. Vamos substituir isso na fórmula:
Passo 4
Podemos dividir ambos os lados por
para simplificar:
Passo 5
Agora, para resolver para
, vamos usar logaritmos. Aplicando o logaritmo natural nos dois lados:
Passo 6
Isolando
, temos:
Passo 7
Substituindo
(já que 5,9% = 0,059):
Resposta
Aproximadamente 12 horas são necessárias para que a população de bactérias dobre de tamanho.