Uma população de bactérias cresce de forma que, a cada hora, o número de indivíduos aumenta r % em relação ao total da hora anterior. Inicialmente, há P0 bactérias.
Suponha que r=5,9 %. Determine aproximadamente quanto tempo é necessário para que a população dobre de tamanho.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que uma população de bactérias cresce 5,9% a cada hora e que queremos saber quanto tempo demora para essa população dobrar de tamanho. Para resolver isso, vamos usar a matéria de crescimento exponencial e uma fórmula que nos ajuda a calcular o tempo necessário para que algo dobre de valor com uma certa taxa de crescimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do crescimento exponencial. Se a população inicial é P0 e cresce r % a cada hora, depois de t horas a população será:
P(t) = P0 times (1 + r)^t
Aqui, r é a taxa de crescimento por período (no nosso caso, por hora).

Passo 3

Queremos que a população dobre, ou seja, queremos que P(t) = 2P0 . Vamos substituir isso na fórmula:
2P0 = P0 times (1 + r)^t

Passo 4

Podemos dividir ambos os lados por P0 para simplificar:
2 = (1 + r)^t

Passo 5

Agora, para resolver para t , vamos usar logaritmos. Aplicando o logaritmo natural nos dois lados:
ln(2) = t times ln(1 + r)

Passo 6

Isolando t , temos:
t = ln(2)ln(1 + r)

Passo 7

Substituindo r = 0,059 (já que 5,9% = 0,059):
t = ln(2)ln(1 + 0,059) approx 0,69310,0573 approx 12,09 horas

Resposta

Aproximadamente 12 horas são necessárias para que a população de bactérias dobre de tamanho.

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