Nos problemas a seguir, calcule a primitiva geral. Comprove as repostas obtidas, derivando-as.
f(x)=e^x2+x raizx

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a primitiva geral da função f(x) = e^x2 + x raizx . Isso faz parte do estudo de Cálculo, especificamente da matéria de integrais. Para resolver isso, vamos precisar integrar cada termo da função separadamente usando as regras de integração que aprendemos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo e^x2 . Sabemos que a integral de e^x em relação a x é simplesmente e^x . Mas aí a gente tem esse 12 multiplicando esse e^x . A regra que usamos aqui é que podemos fatorar constantes fora da integral. Então, a integral de e^x2 será:
integral e^x2 , dx = 12 integral e^x , dx = e^x2

Passo 3

Agora, vamos para o segundo termo, que é x raizx . Primeiro, vamos simplificar essa expressão. Sabemos que raizx é o mesmo que x^1/2 . Então, multiplicando por x , temos:
x raizx = x cdot x^1/2 = x^3/2
Agora, precisamos integrar x^3/2 . A regra geral para integrar potências de x é:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
Aplicando isso ao nosso caso, onde n = 32 :
integral x^3/2 , dx = x^5/25/2 = 25 x^5/2

Passo 4

Juntando as integrais que calculamos para cada termo, temos:
integral ( e^x2 + x raizx ) dx = e^x2 + 25 x^5/2 + C
Aqui, C é a constante de integração, que sempre colocamos no final quando encontramos primitivas gerais.

Resposta

A primitiva geral da função é:
F(x) = e^x2 + 25 x^5/2 + C

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