Considere as sequências definidas recursivamente abaixo. Em cada caso, mostre que a sequência é crescente e limitada superiormente, e conclua que ela é convergente. Em seguida, determine o seu limite.
Seja
e
, para
(Desta vez, você deverá conjeturar uma cota superior.)
Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma sequência que começa com
e cada próximo termo é definido por
. O nosso objetivo é provar que essa sequência está sempre aumentando (é crescente) e que ela não ultrapassa um certo número (é limitada superiormente). Com isso, podemos concluir que ela converge para algum limite. Para resolver isso, vamos precisar entender de sequências recursivas, propriedades de sequências crescentes e limitadas, e como encontrar o limite delas.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que a sequência é crescente, ou seja, que cada termo é maior ou igual ao anterior:
.
Começamos com
.
Calculando o próximo termo:
Como
, temos que
.
Agora, assumimos que
. Então:
Assim, por indução, a sequência é crescente.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma cota superior para a sequência. Queremos descobrir um número
tal que
para todo
.
Vamos conjeturar que
.
Vamos verificar:
Então, se
, então
. Como
, por indução, todos os termos da sequência são menores ou iguais a 5.
Passo 4
Já que mostramos que a sequência é crescente e está limitada acima por 5, a teoria das sequências diz que toda sequência que é crescente e limitada superiormente converge. Portanto, nossa sequência
é convergente.
Passo 5
Para encontrar o limite
da sequência, usamos a definição de convergência para sequências recursivas:
Elevando os dois lados ao quadrado:
Resolvendo essa equação quadrática:
Assim,
ou
. Porém, como estamos lidando com raízes quadradas, descartamos o valor negativo. Portanto,
.
Resposta
O limite da sequência é 5.