Considere as sequências definidas recursivamente abaixo. Em cada caso, mostre que a sequência é crescente e limitada superiormente, e conclua que ela é convergente. Em seguida, determine o seu limite.
Seja a1=3 e an+1=raiz15+2 an, para n=1,2,3, ldots (Desta vez, você deverá conjeturar uma cota superior.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma sequência que começa com a1 = 3 e cada próximo termo é definido por an+1 = raiz15 + 2an . O nosso objetivo é provar que essa sequência está sempre aumentando (é crescente) e que ela não ultrapassa um certo número (é limitada superiormente). Com isso, podemos concluir que ela converge para algum limite. Para resolver isso, vamos precisar entender de sequências recursivas, propriedades de sequências crescentes e limitadas, e como encontrar o limite delas.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a sequência é crescente, ou seja, que cada termo é maior ou igual ao anterior: an+1 >= an .
Começamos com a1 = 3 .
Calculando o próximo termo:
a2 = raiz15 + 2a1 = raiz15 + 2 times 3 = raiz21 approx 4,58
Como 4,58 > 3 , temos que a2 > a1 .
Agora, assumimos que an >= an-1 . Então:
an+1 = raiz15 + 2an >= raiz15 + 2an-1 = an
Assim, por indução, a sequência é crescente.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma cota superior para a sequência. Queremos descobrir um número C tal que an <= C para todo n .
Vamos conjeturar que C = 5 .
Vamos verificar:
an+1 = raiz15 + 2an <= raiz15 + 2 times 5 = raiz25 = 5
Então, se an <= 5 , então an+1 <= 5 . Como a1 = 3 <= 5 , por indução, todos os termos da sequência são menores ou iguais a 5.

Passo 4

Já que mostramos que a sequência é crescente e está limitada acima por 5, a teoria das sequências diz que toda sequência que é crescente e limitada superiormente converge. Portanto, nossa sequência an é convergente.

Passo 5

Para encontrar o limite L da sequência, usamos a definição de convergência para sequências recursivas:
L = raiz15 + 2L
Elevando os dois lados ao quadrado:
L^2 = 15 + 2L L^2 - 2L - 15 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
L = 2 pm raiz4 + 602 = 2 pm raiz642 = 2 pm 82
Assim, L = 5 ou L = -3 . Porém, como estamos lidando com raízes quadradas, descartamos o valor negativo. Portanto, L = 5 .

Resposta

O limite da sequência é 5.

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