Para cada sequência abaixo, determine se ela é não crescente, não decrescente ou não monótona. Além disso, determine se a sequência é limitada.
an=2 n-33 n+4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a sequência an = 2n - 33n + 4 . Precisamos descobrir se essa sequência é não crescente, não decrescente ou não monótona. Além disso, temos que verificar se ela é limitada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de comportamento de sequências e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a sequência ser não crescente ou não decrescente. Uma sequência é não decrescente se cada termo é maior ou igual ao anterior, ou seja, an+1 >= an para todo n . Já uma sequência é não crescente se cada termo é menor ou igual ao anterior, ou seja, an+1 <= an para todo n . Se a sequência não se encaixa em nenhuma dessas categorias, ela é não monótona.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da sequência conforme n cresce. Vamos calcular o limite da sequência quando n tende ao infinito:
limn to infty an = limn to infty 2n - 33n + 4
Para simplificar, dividimos numerador e denominador por n :
= limn to infty 2 - 3n3 + 4n = 23
Isso significa que, conforme n aumenta, os termos da sequência se aproximam de 23 .

Passo 4

Vamos agora verificar se a sequência é não decrescente. Para isso, vamos calcular a diferença entre termos consecutivos an+1 - an :
an+1 - an = 2(n+1) - 33(n+1) + 4 - 2n - 33n + 4
Simplificando:
= 2n + 2 - 33n + 3 + 4 - 2n - 33n + 4 = 2n -13n +7 - 2n - 33n +4
Colocando em um denominador comum:
= (2n -1)(3n +4) - (2n -3)(3n +7)(3n +7)(3n +4)
Calculando o numerador:
= (6n^2 +8n -3n -4) - (6n^2 +14n -9n -21) = (6n^2 +5n -4) - (6n^2 +5n -21) = 17
Então:
an+1 - an = 17(3n +7)(3n +4) > 0
Como a diferença é sempre positiva, a sequência é não decrescente.

Passo 5

Por último, vamos verificar se a sequência é limitada. Já vimos que o limite é 23 , e como a sequência é crescente, o menor termo será o primeiro termo.
Calculando a1 :
a1 = 2(1) -33(1) +4 = -17 = -17
Então, a sequência está limitada inferiormente por -17 e superiormente por 23 .

Resposta

A sequência an = 2n - 33n + 4 é não decrescente e limitada, com limite 23 .

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