Para cada sequência abaixo, determine se ela é não crescente, não decrescente ou não monótona. Além disso, determine se a sequência é limitada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a sequência
. Precisamos descobrir se essa sequência é não crescente, não decrescente ou não monótona. Além disso, temos que verificar se ela é limitada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de comportamento de sequências e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a sequência ser não crescente ou não decrescente. Uma sequência é não decrescente se cada termo é maior ou igual ao anterior, ou seja,
para todo
. Já uma sequência é não crescente se cada termo é menor ou igual ao anterior, ou seja,
para todo
. Se a sequência não se encaixa em nenhuma dessas categorias, ela é não monótona.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da sequência conforme
cresce. Vamos calcular o limite da sequência quando
tende ao infinito:
Para simplificar, dividimos numerador e denominador por
:
Isso significa que, conforme
aumenta, os termos da sequência se aproximam de
.
Passo 4
Vamos agora verificar se a sequência é não decrescente. Para isso, vamos calcular a diferença entre termos consecutivos
:
Simplificando:
Colocando em um denominador comum:
Calculando o numerador:
Então:
Como a diferença é sempre positiva, a sequência é não decrescente.
Passo 5
Por último, vamos verificar se a sequência é limitada. Já vimos que o limite é
, e como a sequência é crescente, o menor termo será o primeiro termo.
Calculando
:
Então, a sequência está limitada inferiormente por
e superiormente por
.
Resposta
A sequência
é não decrescente e limitada, com limite
.