Os números de Fibonacci (Fn) são definidos pela seguinte relação de recorrência:
F1=1, F2=1, e Fn=Fn-1+Fn-2 para n >= 3
Considere a sequência (an) definida por:
an=Fn+1Fn, n >= 1
(a) Verifique que a sequência (an) satisfaz a relação de recorrência:
an=1+1an-1
(b) Suponha que a sequência (an) seja convergente e que lim n infty an=L. Use a relação de recorrência do item anterior para determinar o valor de L. Este número é conhecido como a razão áurea.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. Temos a sequência de Fibonacci
F1=1, F2=1, Fn=Fn-1+Fn-2;(n>=3)
e definimos
an=Fn+1Fn,;n>=1
Então é uma questão de dois tópicos principais:
  1. Mostrar que essa sequência satisfaz a recorrência
an = 1 + 1an-1
  1. Supondo que an convirja para algum L, usar essa recorrência pra achar L.
    Precisa sair tranquilo em recorrência e limites de sequência.

Passo 2

(A) Verificando a relação an = 1 + tfrac1an-1.
Por definição
an=Fn+1Fn e an-1=FnFn-1
Então
1 + 1an-1 =1 + Fn-1Fn =Fn + Fn-1Fn =Fn+1Fn =an
Sacou? É só usar a recorrência dos Fn, Fn+1=Fn+Fn-1.

Passo 3

(B) Agora supomos que limntoinftyan=L existe (e é finito).
A ideia é usar que, se anto L e a função f(x)=1+1/x é contínua em x>0, então
limntoinftyan =limntoinftyl(1+tfrac1an-1r) =1+1limntoinftyan-1 =1+1L
Logo, o L que buscamos satisfaz
L = 1 + 1L

Passo 4

Basta resolver a equação
L = 1 + 1L
Multiplicando por L:
L^2 = L + 1 Longrightarrow L^2 - L - 1 = 0
As raízes dessa quadrática são
L = 1pmraiz1+42 = 1pmraiz52
Como cada an>0, o limite tem de ser positivo, ou seja
L = 1+raiz52

Resposta

boxedL=1+raiz52,
que é a famosa razão áurea.

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