Os números de Fibonacci
são definidos pela seguinte relação de recorrência:
Considere a sequência
definida por:
(a) Verifique que a sequência
satisfaz a relação de recorrência:
(b) Suponha que a sequência
seja convergente e que
. Use a relação de recorrência do item anterior para determinar o valor de
. Este número é conhecido como a razão áurea.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. Temos a sequência de Fibonacci
e definimos
Então é uma questão de dois tópicos principais:
- Mostrar que essa sequência satisfaz a recorrência
- Supondo que
convirja para algum , usar essa recorrência pra achar .
Precisa sair tranquilo em recorrência e limites de sequência.
Passo 2
(A) Verificando a relação
.
Por definição
Por definição
Então
Sacou? É só usar a recorrência dos
,
.
Passo 3
(B) Agora supomos que
existe (e é finito).
A ideia é usar que, se e a função
é contínua em
, então
A ideia é usar que, se
Logo, o
que buscamos satisfaz
Passo 4
Basta resolver a equação
Multiplicando por
:
As raízes dessa quadrática são
Como cada
, o limite tem de ser positivo, ou seja
Resposta
que é a famosa razão áurea.