A terceira lei de Kepler estabelece que o quadrado do período T necessário para um planeta completar uma órbita em torno do Sol (i.e., a duração de um ano planetário) é diretamente proporcional ao cubo da distância média d do planeta ao Sol. Para o planeta Terra, assuma d=93 times 10^6 milhas e T=365 dias. Calcule o periodo de Marte, sabendo-se que o mesmo fica a uma distância de 1.5 vezes a distância do Sol a Terra.

Passo 1

O enunciado fala da terceira lei de Kepler, segundo a qual existe uma constante k tal que
T^2 = k,d^3,
onde T é o período orbital e d é a distância média ao Sol. Sabemos que para a Terra vale dE = 93times10^6 milhas e TE = 365 dias. Queremos achar o período TM de Marte, cujo dM = 1,5,dE.

Passo 2

Para a Terra, aplicando a lei de Kepler:
TE^2 = k,dE^3
isso define a mesma constante k que vale para qualquer planeta do sistema.

Passo 3

Para Marte, temos
TM^2 = k,dM^3
Dividindo essa expressão pela de Terra, eliminamos k:
TM^2TE^2 = dM^3dE^3

Passo 4

Isolando TM, obtemos
TM = TE ,gl(dMdEgr)^3/2

Passo 5

Como dM/dE = 1,5, calculamos
l(1,5r)^3/2 = raiz(1,5)^3 = raiz3,375approx1,837
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TM approx 365 times 1,837 approx 670,6 dias

Resposta

TM approx 671 dias

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