Para cada sequência
dada abaixo, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i) se a sequência
converge ou diverge. Se a sequência converge, encontre seu limite.
ii) se a série
converge ou diverge. Se a série converge, encontre sua soma, se possível.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i) se a sequência
ii) se a série
Passo 1
O enunciado pede, para cada sequência listada (itens a)–h)), duas coisas:
- (i) Determinar se a sequência
converge ou diverge; se converge, encontrar o limite . - (ii) Determinar se a série
converge ou diverge; se converge, fornecer a soma quando for possível.
As sequências dadas são:
- (a)
, . - (b)
, . - (c)
, . - (d)
, . - (e)
, . - (f)
, . - (g)
, . - (h)
, (mesma expressão que em (g); trataremos igualmente).
Vou usar testes padrões: comportamento assintótico (exponencial vs. polinomial), teste da razão quando conveniente, p-série, teste integral para termos do tipo
, comparação assintótica, teste da divergência (termos não tendendo a zero impedem soma) e fórmula da soma de séries geométricas e da série
quando aplicáveis.
Passo 2
Relembrando ferramentas que vou usar (com explicações curtas):
- Para sequências: se
existe finito, a sequência converge para ; se não existe ou é infinito, diverge. - Fato útil:
, porque . - Exponenciais vencem polinômios: para qualquer
, para qualquer . Explico: comparar razões ou usar que . - Para séries:
- Série geométrica:
para . - Fórmula para
para . - p-série:
converge iff . - Teste da integral: para
decrescente, e têm mesmo caráter de convergência; em particular converge iff . - Teste da divergência: se
então diverge.
- Série geométrica:
Vou aplicar essas ideias passo a passo para cada item.
Passo 3
Analisar
.
- Para o limite da sequência: usar que
cresce geometricamente enquanto cresce polinomialmente. Assim
Um argumento mais formal: considerar a razão
logo os termos decrescem geometricamente no limite e vão a zero.
Passo 4
Considerar a série
.
- Aplicar a fórmula conhecida
para . - Aqui
, logo
Portanto a série converge e sua soma é
.
Passo 5
Analisar
,
.
- Para o limite: o denominador
quando , logo
Mais precisamente,
e então
.
Passo 6
Analisar
.
- Compare com a função contínua
para . Note que é positiva e decrescente para grande. - Use o teste integral:
Fazer a substituição
, então
e quando
tem
. Assim
e essa integral converge (é uma integral de
). Portanto pela equivalência integral a série
converge.
3. A soma não tem uma expressão elementar simples; conclui-se apenas a convergência (soma não expressa por fórmula elementary conhecida).
3. A soma não tem uma expressão elementar simples; conclui-se apenas a convergência (soma não expressa por fórmula elementary conhecida).
Passo 7
Analisar
.
- Denotar
. Numericamente (menor que ). - Então
porque para . Logo a sequência converge para .
Passo 8
Analisar
.
- Trata-se de uma p-série com expoente
. - A p-série
converge iff . Aqui , portanto a série diverge (como uma série do tipo harmônica lenta).
Passo 9
Analisar
.
- Primeiro calcular
. Escrever e usar . Assim . - Como
é contínua, . - Portanto a sequência converge para
(valor em radianos).
Passo 10
Analisar
.
- Pelo teste da divergência, se os termos gerais não tendem a zero então a série diverge.
- Aqui
(num valor aproximado ), então os termos não vão a zero. - Logo a série diverge (os termos não anulam a soma).
Passo 11
Analisar
.
- Para o limite: para
, , então . - Logo
e . A sequência converge para .
Passo 12
Analisar
.
- Como para
grande se comporta como e (p-série com ) converge, pela comparação assintótica/criterio da comparação a série dada converge. - A soma explícita não é uma forma elementar conhecida; concluímos convergência, mas não temos soma fechada simples.
Passo 13
Analisar
.
- Reescrevendo:
- É uma progressão geométrica em
com razão , . Portanto
Passo 14
Analisar
.
- Usar soma da geométrica:
- Portanto a série converge e sua soma é
.
Passo 15
Analisar
.
- Usar a identidade padrão:
. Aqui, para aplicar diretamente, observe que
- Como
, tem-se
- Alternativamente, usar
e exp().
Passo 16
Analisar
.
- Como
, os termos gerais não tendem a zero. - Pelo teste da divergência, a série diverge.
Passo 17
O item (h) apresenta a mesma sequência que (g):
. Portanto as respostas são idênticas:
- Sequência:
. - Série
: diverge, pois termos não tendem a zero.
Resposta
a) (i)
(ii) converge e a soma é
.
(ii)
b) (i)
(ii) converge (por teste integral); soma não expressa em forma elementar simples.
(ii)
c) (i)
(ii) diverge (p-série com expoente
).
(ii)
d) (i)
(ii) diverge (termos não tendem a zero).
(ii)
e) (i)
(ii) converge (comparação com
); soma sem forma elementar simples.
(ii)
f) (i)
(ii) .
(ii)
g) (i)
(ii) diverge (termos não tendem a zero).
(ii)
h) (i)
(ii) diverge (mesma resposta de (g)).
(ii)