Para cada sequência \left\{a_{n}\right\}_{n=n_{0}}^{\infty} dada abaixo, determine:
a) \left\{n 5^{-n}\right\}_{n=0}^{\infty}
b) \left\{\frac{1}{n(1+\ln (n))^{2}}\right\}_{n=2}^{\infty}
c) \left\{\frac{1}{n^{\log _{5}(3)}}\right\}_{n=1}^{\infty}
d) \left\{\cos \left(n^{1 / n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty}
e) \left\{\frac{1}{\left(n^{2}+9\right)^{3 / 2}}\right\}_{n=0}^{\infty}
f) \left\{2^{2 n+1} 5^{-n}\right\}_{n=0}^{\infty}
g) \left\{\left(1+\frac{1}{2 n}\right)^{n}\right\}_{n=1}^{\infty}
h) \left\{\left(1+\frac{1}{2 n}\right)^{n}\right\}_{n=1}^{\infty}
i) se a sequência \left\{a_{n}\right\}_{n=n_{0}}^{\infty} converge ou diverge. Se a sequência converge, encontre seu limite.
ii) se a série \sum_{n=n_{0}}^{\infty} a_{n} converge ou diverge. Se a série converge, encontre sua soma, se possível.

Passo 1

O enunciado pede, para cada sequência listada (itens a)–h)), duas coisas:
  1. (i) Determinar se a sequência \{a_n\} converge ou diverge; se converge, encontrar o limite \lim_{n\to\infty} a_n.
  2. (ii) Determinar se a série \sum_{n=n_0}^\infty a_n converge ou diverge; se converge, fornecer a soma quando for possível.
As sequências dadas são:
  • (a) a_n = n\,5^{-n}, n=0,1,2,\dots.
  • (b) a_n = \dfrac{1}{n\bigl(1+\ln(n)\bigr)^{2}}, n=2,3,\dots.
  • (c) a_n = \dfrac{1}{n^{\log_{5}(3)}}, n=1,2,\dots.
  • (d) a_n = \cos\bigl(n^{1/n}\bigr), n=1,2,\dots.
  • (e) a_n = \dfrac{1}{\bigl(n^{2}+9\bigr)^{3/2}}, n=0,1,2,\dots.
  • (f) a_n = 2^{2n+1}\,5^{-n}, n=0,1,2,\dots.
  • (g) a_n = \left(1+\dfrac{1}{2n}\right)^{n}, n=1,2,\dots.
  • (h) a_n = \left(1+\dfrac{1}{2n}\right)^{n}, n=1,2,\dots (mesma expressão que em (g); trataremos igualmente).
Vou usar testes padrões: comportamento assintótico (exponencial vs. polinomial), teste da razão quando conveniente, p-série, teste integral para termos do tipo 1/(x(\ln x)^p), comparação assintótica, teste da divergência (termos não tendendo a zero impedem soma) e fórmula da soma de séries geométricas e da série \sum n x^n quando aplicáveis.

Passo 2

Relembrando ferramentas que vou usar (com explicações curtas):
  • Para sequências: se \lim_{n\to\infty} a_n = L existe finito, a sequência converge para L; se não existe ou é infinito, diverge.
  • Fato útil: \displaystyle \lim_{n\to\infty} n^{1/n} = 1, porque \ln(n^{1/n}) = \dfrac{\ln n}{n}\to 0.
  • Exponenciais vencem polinômios: para qualquer c>1, \displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{n^k}{c^n}=0 para qualquer k\ge 0. Explico: comparar razões ou usar que \ln(n^k/c^n)=k\ln n - n\ln c\to -\infty.
  • Para séries:
    • Série geométrica: \displaystyle\sum_{n=0}^\infty r^n=\dfrac{1}{1-r} para |r|<1.
    • Fórmula para \displaystyle\sum_{n=0}^\infty n x^n=\dfrac{x}{(1-x)^2} para |x|<1.
    • p-série: \sum n^{-p} converge iff p>1.
    • Teste da integral: para f(x)>0 decrescente, \sum f(n) e \int f(x)\,dx têm mesmo caráter de convergência; em particular \int_{2}^\infty \dfrac{dx}{x(\ln x)^p} converge iff p>1.
    • Teste da divergência: se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 então \sum a_n diverge.
Vou aplicar essas ideias passo a passo para cada item.

Passo 3

Analisar \displaystyle a_n = n\,5^{-n}=\frac{n}{5^n}.
  1. Para o limite da sequência: usar que 5^n cresce geometricamente enquanto n cresce polinomialmente. Assim
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{5^n}=0.
Um argumento mais formal: considerar a razão
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)/5^{\,n+1}}{n/5^{\,n}}=\frac{n+1}{5n}\to\frac{1}{5}<1,
logo os termos decrescem geometricamente no limite e vão a zero.

Passo 4

Considerar a série \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{5^n}.
  1. Aplicar a fórmula conhecida \displaystyle\sum_{n=0}^\infty n x^{n}=\frac{x}{(1-x)^2} para |x|<1.
  2. Aqui x=\dfrac{1}{5}, logo
\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{5^n}=\frac{\tfrac{1}{5}}{\bigl(1-\tfrac{1}{5}\bigr)^2} =\frac{1/5}{(4/5)^2}=\frac{1/5}{16/25}=\frac{25}{80}=\frac{5}{16}.
Portanto a série converge e sua soma é \dfrac{5}{16}.

Passo 5

Analisar \displaystyle a_n=\frac{1}{n\bigl(1+\ln n\bigr)^{2}}, n\ge2.
  1. Para o limite: o denominador n(1+\ln n)^2\to\infty quando n\to\infty, logo
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n\bigl(1+\ln n\bigr)^{2}}=0.
Mais precisamente, \ln n\to\infty e então n(\ln n)^2\to\infty.

Passo 6

Analisar \displaystyle\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\bigl(1+\ln n\bigr)^{2}}.
  1. Compare com a função contínua f(x)=\dfrac{1}{x(1+\ln x)^2} para x\ge2. Note que f é positiva e decrescente para x grande.
  2. Use o teste integral:
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(1+\ln x)^2}.
Fazer a substituição u=1+\ln x, então du=\dfrac{dx}{x} e quando x\to\infty tem u\to\infty. Assim
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(1+\ln x)^2}=\int_{1+\ln 2}^{\infty}\frac{du}{u^2},
e essa integral converge (é uma integral de u^{-2}). Portanto pela equivalência integral a série \sum_{n=2}^\infty \dfrac{1}{n(1+\ln n)^2} converge.
3. A soma não tem uma expressão elementar simples; conclui-se apenas a convergência (soma não expressa por fórmula elementary conhecida).

Passo 7

Analisar \displaystyle a_n=\frac{1}{n^{\log_{5}(3)}}.
  1. Denotar p=\log_{5}(3)=\dfrac{\ln 3}{\ln 5}. Numericamente p\approx 0,6826 (menor que 1).
  2. Então \lim_{n\to\infty} a_n =0 porque n^{p}\to\infty para p>0. Logo a sequência converge para 0.

Passo 8

Analisar \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{\log_{5}(3)}}.
  1. Trata-se de uma p-série com expoente p=\log_5(3).
  2. A p-série \sum n^{-p} converge iff p>1. Aqui p\approx 0,6826<1, portanto a série diverge (como uma série do tipo harmônica lenta).

Passo 9

Analisar \displaystyle a_n=\cos\bigl(n^{1/n}\bigr).
  1. Primeiro calcular \lim_{n\to\infty} n^{1/n}. Escrever n^{1/n}=e^{(\ln n)/n} e usar \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0. Assim \displaystyle\lim_{n\to\infty} n^{1/n}=e^{0}=1.
  2. Como \cos é contínua, \displaystyle\lim_{n\to\infty}\cos\bigl(n^{1/n}\bigr)=\cos(1).
  3. Portanto a sequência converge para \cos(1) (valor em radianos).

Passo 10

Analisar \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \cos\bigl(n^{1/n}\bigr).
  1. Pelo teste da divergência, se os termos gerais não tendem a zero então a série diverge.
  2. Aqui \lim_{n\to\infty}\cos(n^{1/n})=\cos(1)\neq 0 (num valor aproximado \cos(1)\approx 0,5403), então os termos não vão a zero.
  3. Logo a série diverge (os termos não anulam a soma).

Passo 11

Analisar \displaystyle a_n=\frac{1}{\bigl(n^{2}+9\bigr)^{3/2}}.
  1. Para o limite: para n\to\infty, n^2+9\sim n^2, então (n^2+9)^{3/2}\sim n^{3}.
  2. Logo \displaystyle a_n\sim \frac{1}{n^{3}} e \lim_{n\to\infty} a_n=0. A sequência converge para 0.

Passo 12

Analisar \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n^{2}+9)^{3/2}}.
  1. Como para n grande a_n se comporta como 1/n^{3} e \sum 1/n^{3} (p-série com p=3>1) converge, pela comparação assintótica/criterio da comparação a série dada converge.
  2. A soma explícita não é uma forma elementar conhecida; concluímos convergência, mas não temos soma fechada simples.

Passo 13

Analisar \displaystyle a_n=2^{2n+1}\,5^{-n}.
  1. Reescrevendo:
a_n=2^{2n+1}5^{-n}=2\cdot 2^{2n}5^{-n}=2\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^{n}.
  1. É uma progressão geométrica em n com razão r=\dfrac{4}{5}, |r|<1. Portanto
\lim_{n\to\infty} a_n = 2\cdot\lim_{n\to\infty}\left(\frac{4}{5}\right)^n = 0.

Passo 14

Analisar \displaystyle\sum_{n=0}^\infty 2\left(\frac{4}{5}\right)^n.
  1. Usar soma da geométrica:
\sum_{n=0}^\infty 2\left(\frac{4}{5}\right)^n = 2\cdot\frac{1}{1-\tfrac{4}{5}}=2\cdot\frac{1}{1/5}=2\cdot 5=10.
  1. Portanto a série converge e sua soma é 10.

Passo 15

Analisar \displaystyle a_n=\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{n}.
  1. Usar a identidade padrão: \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=e^{x}. Aqui, para aplicar diretamente, observe que
\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{n}=\left[\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}\right]^{1/2}.
  1. Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}=e^{1}, tem-se
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{n} = e^{1/2}=\sqrt{e}.
  1. Alternativamente, usar n\ln\left(1+\frac{1}{2n}\right)\to \tfrac{1}{2} e exp().

Passo 16

Analisar \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{n}.
  1. Como \lim_{n\to\infty} a_n=\sqrt{e}\neq 0, os termos gerais não tendem a zero.
  2. Pelo teste da divergência, a série diverge.

Passo 17

O item (h) apresenta a mesma sequência que (g): \displaystyle a_n=\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{n}. Portanto as respostas são idênticas:
  1. Sequência: \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\sqrt{e}.
  2. Série \displaystyle\sum a_n: diverge, pois termos não tendem a zero.

Resposta

a) (i) \displaystyle\lim_{n\to\infty} n\,5^{-n}=0
(ii) \displaystyle\sum_{n=0}^\infty n\,5^{-n} converge e a soma é \displaystyle\frac{5}{16}.
b) (i) \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n(1+\ln n)^{2}}=0
(ii) \displaystyle\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(1+\ln n)^{2}} converge (por teste integral); soma não expressa em forma elementar simples.
c) (i) \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{\log_{5}3}}=0
(ii) \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{\log_{5}3}} diverge (p-série com expoente \log_{5}3<1).
d) (i) \displaystyle\lim_{n\to\infty}\cos\bigl(n^{1/n}\bigr)=\cos(1)
(ii) \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \cos\bigl(n^{1/n}\bigr) diverge (termos não tendem a zero).
e) (i) \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(n^{2}+9)^{3/2}}=0
(ii) \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n^{2}+9)^{3/2}} converge (comparação com 1/n^{3}); soma sem forma elementar simples.
f) (i) \displaystyle\lim_{n\to\infty}2^{2n+1}5^{-n}=0
(ii) \displaystyle\sum_{n=0}^\infty 2^{2n+1}5^{-n}=10.
g) (i) \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{n}=e^{1/2}=\sqrt{e}
(ii) \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{n} diverge (termos não tendem a zero).
h) (i) \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{n}=e^{1/2}=\sqrt{e}
(ii) \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{n} diverge (mesma resposta de (g)).

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