Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Certifique-se de identificar claramente e justificar o uso de qualquer teste de convergência utilizado.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos ^{2}(n!)}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos^{2}(n!)}{2^{n}}
converge ou diverge, e justificar claramente o teste de convergência usado.
Informações dadas e observações imediatas extraídas do enunciado:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{\cos^{2}(n!)}{2^{n}}.
  • Para todo n temos \cos^{2}(n!) bem definido e não negativo (pois é quadrado de cosseno).
  • A série é uma soma infinita de termos não negativos.

Passo 2

Vamos explorar uma desigualdade simples e muito útil para esta série. Lembre que para qualquer número real x vale
0\le \cos^{2}(x)\le 1.
Aplicando isso com x=n! obtemos, para todo n,
0 \le \cos^{2}(n!) \le 1.
Dividindo essa desigualdade por 2^{n}>0 (já que 2^{n} é positivo para todo n), segue
0 \le \frac{\cos^{2}(n!)}{2^{n}} \le \frac{1}{2^{n}}.
Esta desigualdade é a chave para usar o teste de comparação (direto).

Passo 3

Agora dou uma “aula rápida” sobre o Teste da Comparação Direta (modo didático, passo a passo):
  • Enunciado do teste (forma que vamos usar): se 0\le a_n\le b_n para todo n a partir de algum índice e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge.
  • Intuição simples: se cada termo a_n é no máximo igual a b_n e a soma dos b_n não explode, então a soma mais “pequena” também não vai explodir.
  • Condições para aplicar: precisamos ter a_n\ge 0 e uma série comparadora b_n cuja convergência já conhecemos.
No nosso caso podemos tomar
a_n=\frac{\cos^{2}(n!)}{2^{n}},\qquad b_n=\frac{1}{2^{n}},
e já mostramos que 0\le a_n\le b_n para todo n.

Passo 4

Precisamos agora saber se \sum b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^{n}} converge. Esta é uma série geométrica com razão r=\dfrac{1}{2}. Lembre a fórmula/resultado clássico:
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}\quad\text{para}\quad |r|<1.
Aqui r=\dfrac{1}{2}, portanto
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}}=1.
Logo \sum b_n converge (para 1).

Passo 5

Aplicando o Teste da Comparação Direta com 0\le a_n\le b_n e sabendo que \sum b_n converge, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos^{2}(n!)}{2^{n}}
converge também.
Além disso, como os termos a_n são não negativos, a convergência da série implica convergência absoluta. Em termos práticos: a série dos valores absolutos é a própria série (pois a_n\ge0), logo é convergente.

Passo 6

Comentário extra (opcional, para reforçar a compreensão): dá para obter a mesma conclusão usando o Critério da Raiz. Para ver isso, note que
\sqrt[n]{\frac{\cos^{2}(n!)}{2^{n}}}=\big(\cos^{2}(n!)\big)^{1/n}\cdot\frac{1}{2}.
Como 0\le\big(\cos^{2}(n!)\big)^{1/n}\le 1 e \limsup_{n\to\infty}\big(\cos^{2}(n!)\big)^{1/n}\le 1, tem-se
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{\cos^{2}(n!)}{2^{n}}}\le\frac{1}{2}<1,
portanto o critério da raiz também daria convergência absoluta. Isso apenas confirma a conclusão do teste de comparação.

Resposta

Converge (convergência absoluta)

Exercícios relacionados