Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Certifique-se de identificar claramente e justificar o uso de qualquer teste de convergência utilizado.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge, e justificar claramente o teste de convergência usado.
Informações dadas e observações imediatas extraídas do enunciado:
Informações dadas e observações imediatas extraídas do enunciado:
- O termo geral é
. - Para todo
temos bem definido e não negativo (pois é quadrado de cosseno). - A série é uma soma infinita de termos não negativos.
Passo 2
Vamos explorar uma desigualdade simples e muito útil para esta série. Lembre que para qualquer número real
vale
Aplicando isso com
obtemos, para todo
,
Dividindo essa desigualdade por
(já que
é positivo para todo
), segue
Esta desigualdade é a chave para usar o teste de comparação (direto).
Passo 3
Agora dou uma “aula rápida” sobre o Teste da Comparação Direta (modo didático, passo a passo):
- Enunciado do teste (forma que vamos usar): se
para todo a partir de algum índice e converge, então também converge. - Intuição simples: se cada termo
é no máximo igual a e a soma dos não explode, então a soma mais “pequena” também não vai explodir. - Condições para aplicar: precisamos ter
e uma série comparadora cuja convergência já conhecemos.
No nosso caso podemos tomar
e já mostramos que
para todo
.
Passo 4
Precisamos agora saber se
converge. Esta é uma série geométrica com razão
. Lembre a fórmula/resultado clássico:
Aqui
, portanto
Logo
converge (para
).
Passo 5
Aplicando o Teste da Comparação Direta com
e sabendo que
converge, concluímos que
converge também.
Além disso, como os termos
são não negativos, a convergência da série implica convergência absoluta. Em termos práticos: a série dos valores absolutos é a própria série (pois
), logo é convergente.
Passo 6
Comentário extra (opcional, para reforçar a compreensão): dá para obter a mesma conclusão usando o Critério da Raiz. Para ver isso, note que
Como
e
, tem-se
portanto o critério da raiz também daria convergência absoluta. Isso apenas confirma a conclusão do teste de comparação.
Resposta
Converge (convergência absoluta)