Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Certifique-se de identificar claramente e justificar o uso de qualquer teste de convergência utilizado.
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para determinar se ela converge ou diverge, justificando os testes usados.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A expressão do termo geral é
. - Observação importante: para
a expressão não está definida (exponenciação com expoente é indeterminada). Portanto a série como escrita com índice começando em não é bem definida. - Interpretação prática (mais natural): suponho que o autor quis dizer a série começando em
, isto é
Essa suposição é necessária para que o termo geral faça sentido e permite resolver o problema. A partir daqui trabalho com essa versão.
O que o enunciado pede:
- Decidir se
converge ou diverge. - Justificar claramente o teste de convergência usado.
Passo 2
Regra básica (teste do termo geral / teste da divergência):
- Para que uma série
converge é necessário que os termos tendam a zero: isto é, é condição necessária que
- Consequentemente, se
(ou o limite não existe), a série diverge imediatamente. Esse é o teste mais simples e frequentemente o primeiro que se aplica: se os termos não vão a zero, não há soma finita possível.
Vou aplicar esse teste ao termo
. Se eu mostrar que
, já concluo divergência.
Passo 3
Calcular
com a transformação logaritmo-exponencial (truque padrão para potências com
no expoente):
Logo
desde que o limite do expoente exista (ou seja
); portanto precisamos calcular
Para avaliar
note que
cresce muito mais devagar que
. Uma forma direta e rigorosa é usar o Lema de L’Hôpital (considerando a função contínua em
):
defina . Então, para
podemos aplicar L’Hôpital (forma
):
defina
Portanto
. Então
(Comentário pedagógico curto: isso também é intuitivo porque para qualquer polinômio em
a raiz
-ésima tende a
; por exemplo
.)
Passo 4
Conclusão pelo teste do termo geral:
- Encontramos
. - Pelo teste do termo geral (se os termos não tendem a zero, a série diverge), a série
diverge.
Observação sobre outros testes: o teste da raiz aplicado diretamente seria inconclusivo aqui porque o teste da raiz pede
, e como
temos
, então esse teste dá o caso limite
(inconclusivo). Mas não precisamos dele porque o teste do termo geral já decide o caso.
Resposta
Diverge.