Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Certifique-se de identificar claramente e justificar o uso de qualquer teste de convergência utilizado.
\sum_{n=0}^{\infty}(2 n+3)^{1 / n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=0}^{\infty}(2n+3)^{1/n}
e pede para determinar se ela converge ou diverge, justificando os testes usados.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão do termo geral é a_n=(2n+3)^{1/n}.
  • Observação importante: para n=0 a expressão (2\cdot0+3)^{1/0} não está definida (exponenciação com expoente 1/0 é indeterminada). Portanto a série como escrita com índice começando em n=0 não é bem definida.
  • Interpretação prática (mais natural): suponho que o autor quis dizer a série começando em n=1, isto é
\sum_{n=1}^{\infty}(2n+3)^{1/n}.
Essa suposição é necessária para que o termo geral faça sentido e permite resolver o problema. A partir daqui trabalho com essa versão.
O que o enunciado pede:
  • Decidir se \sum_{n=1}^{\infty}(2n+3)^{1/n} converge ou diverge.
  • Justificar claramente o teste de convergência usado.

Passo 2

Regra básica (teste do termo geral / teste da divergência):
  • Para que uma série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge é necessário que os termos a_n tendam a zero: isto é, é condição necessária que
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
  • Consequentemente, se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 (ou o limite não existe), a série diverge imediatamente. Esse é o teste mais simples e frequentemente o primeiro que se aplica: se os termos não vão a zero, não há soma finita possível.
Vou aplicar esse teste ao termo a_n=(2n+3)^{1/n}. Se eu mostrar que \lim_{n\to\infty} a_n\neq 0, já concluo divergência.

Passo 3

Calcular \lim_{n\to\infty} a_n com a transformação logaritmo-exponencial (truque padrão para potências com n no expoente):
a_n=(2n+3)^{1/n}=\exp\!\left(\frac{\ln(2n+3)}{n}\right).
Logo
\lim_{n\to\infty} a_n=\exp\!\left(\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(2n+3)}{n}\right),
desde que o limite do expoente exista (ou seja \pm\infty); portanto precisamos calcular
L=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(2n+3)}{n}.
Para avaliar L note que \ln(2n+3) cresce muito mais devagar que n. Uma forma direta e rigorosa é usar o Lema de L’Hôpital (considerando a função contínua em x):
defina f(x)=\dfrac{\ln(2x+3)}{x}. Então, para x\to\infty podemos aplicar L’Hôpital (forma \infty/\infty):
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(2x+3)}{x} =\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{d}{dx}\ln(2x+3)}{\frac{d}{dx}x} =\lim_{x\to\infty}\frac{2/(2x+3)}{1} =\lim_{x\to\infty}\frac{2}{2x+3}=0.
Portanto L=0. Então
\lim_{n\to\infty} a_n=\exp(0)=1.
(Comentário pedagógico curto: isso também é intuitivo porque para qualquer polinômio em n a raiz n-ésima tende a 1; por exemplo n^{1/n}\to1.)

Passo 4

Conclusão pelo teste do termo geral:
  • Encontramos \lim_{n\to\infty} a_n = 1 \neq 0.
  • Pelo teste do termo geral (se os termos não tendem a zero, a série diverge), a série
\sum_{n=1}^{\infty}(2n+3)^{1/n}
diverge.
Observação sobre outros testes: o teste da raiz aplicado diretamente seria inconclusivo aqui porque o teste da raiz pede \limsup_{n\to\infty} (|a_n|)^{1/n}, e como a_n=(2n+3)^{1/n} temos (a_n)^{1/n}=(2n+3)^{1/n^2}\to1, então esse teste dá o caso limite 1 (inconclusivo). Mas não precisamos dele porque o teste do termo geral já decide o caso.

Resposta

Diverge.

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