Para cada sequência de pontos, Aproxime uma função pelo método dos mínimos quadrados utilizando a metodologia matricial, aproximando por uma reta:
X
-5.5497
-3.4172
-0.2858
1.7428
4.2463
Y
-57
-27
3
33
63
Passo 1
Beleza, vamos primeiro resumir o que o exercício pede. A gente tem cinco pontos e quer achar a reta que melhor “encaixa” esses pontos pelo método dos mínimos quadrados usando a abordagem matricial.
Conteúdo: Mínimos Quadrados Linear (ajuste de reta) via matrizes.
O que vamos precisar:
Montar a matriz (com coluna de 1’s e coluna de ).
Montar o vetor de respostas .
Escrever as equações normais .
Resolver para , onde é o intercepto e a inclinação (slope).
Passo 2
Teoria rápida do método:
A gente quer minimizar a soma dos quadrados dos resíduos .
Se escrevemos , a solução ótima em least squares vem de
e das chamadas equações normais
Daí . Isso dá diretamente e .
Passo 3
Agora vamos calcular numericamente as somas que aparecem em sum xi = -3.2636, sum yi = 15, e em sum xi^2 = 63.6300, sum xi,yi = 732.7692 . Para nossos pontos A^T A = sum 1 & sum xi sum xi & sum xi^2 = 5 & -3.2636 -3.2636 & 63.6300 , , temos:
n = 5 A^Ty = sum yi sum xi yi = 15 732.7692
Logo
[
A^T A
=
,
]
[
A^T\mathbf{y}
=
.
]
Passo 4
Basta resolver o sistema
[ 5 & -3.2636 -3.2636 & 63.6300 a0a1 = 15732.7692 a1 approx 12.08, a0 approx 10.88
.
]
Fazendo álgebra (ou invertendo a matriz 2×2), encontra-se
Resposta
A reta de mínimos quadrados que melhor aproxima os dados é