Para cada sequência de pontos, Aproxime uma função pelo método dos mínimos quadrados utilizando a metodologia matricial, aproximando por uma reta:
X -5.5497 -3.4172 -0.2858 1.7428 4.2463
Y -57 -27 3 33 63

Passo 1

Beleza, vamos primeiro resumir o que o exercício pede. A gente tem cinco pontos a0a1 e quer achar a reta que melhor “encaixa” esses pontos pelo método dos mínimos quadrados usando a abordagem matricial.
Conteúdo: Mínimos Quadrados Linear (ajuste de reta) via matrizes.
O que vamos precisar:
  • Montar a matriz (com coluna de 1’s e coluna de ).
  • Montar o vetor de respostas .
  • Escrever as equações normais .
  • Resolver para , onde é o intercepto e a inclinação (slope).

Passo 2

Teoria rápida do método:
  1. A gente quer minimizar a soma dos quadrados dos resíduos A = 1 & x1 1 & x2 vdots & vdots 1 & xn , y=y1y2 vdotsyn, .
  2. Se escrevemos A^T A;boldsymbolbeta ;=;A^Ty , a solução ótima em least squares vem de
e das chamadas equações normais
  1. Daí . Isso dá diretamente e .

Passo 3

Agora vamos calcular numericamente as somas que aparecem em sum xi = -3.2636, sum yi = 15, e em sum xi^2 = 63.6300, sum xi,yi = 732.7692 . Para nossos pontos A^T A = sum 1 & sum xi sum xi & sum xi^2 = 5 & -3.2636 -3.2636 & 63.6300 , , temos:
n = 5
A^Ty = sum yi sum xi yi = 15 732.7692

Logo
[
A^T A
=

,
]
[
A^T\mathbf{y}
=

.
]

Passo 4

Basta resolver o sistema
[
5 & -3.2636 -3.2636 & 63.6300 a0a1 = 15732.7692
a1 approx 12.08, a0 approx 10.88

.
]
Fazendo álgebra (ou invertendo a matriz 2×2), encontra-se

Resposta

A reta de mínimos quadrados que melhor aproxima os dados é
boxed,hat y ;=;10.88;+;12.08,x,

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