Para cada sequência de pontos, Aproxime uma função pelo método dos mínimos quadrados utilizando qualquer metodologia EXCETO a de matrizes, aproximando por uma função do segundo grau:
X
0
0.85227
1.4
Y
3
-2.11364
0
Passo 1
Então, o enunciado diz: “Dado o conjunto de pontos
{(0, 3), (0.85227, −2.11364), (1.4, 0)}, aproximar uma função do 2º grau via mínimos quadrados (sem usar método matricial).”
Isso é um problema de ajuste polinomial por mínimos quadrados: queremos achar
que “minimiza” a soma dos erros quadráticos .
Para resolver, vamos precisar de:
• A teoria do método dos mínimos quadrados (normalmente, derivadas parciais dão as “equações normais”).
• Calcular somatórios e .
• Resolver o sistema de 3 equações lineares em por eliminação ou substituição.
Passo 2
Teoria básica (sem pular etapas):
Definimos a função de erro
Para achar o mínimo, fazemos , , .
Isso gera as chamadas equações normais:
Aqui . O passo seguinte é montar esses somatórios.
Passo 3
Vamos calcular numa tabela (arredondando em 6 casas para facilitar):
sum yi = 0.88636, sum xi = 2.25227, sum xi^2 = 2.686367, sum xi^3 = 3.363061, sum xi^4 = 4.369205,
sum xi yi = -1.801446, sum xi^2yi = -1.535281
0
3
0
0
0
0
0
0.85227
−2.11364
0.726367
0.619061
0.527605
−1.801446
−1.535281
1.4
0
1.96
2.744
3.8416
0
0
Total
0.88636
2.686367
3.363061
4.369205
−1.801446
−1.535281
Logo os somatórios são:
Passo 4
Substituindo nas equações normais:
(1) c = 0.88636 - 2.25227,b - 2.686367,a3
(2) a approx 7.0432, b approx -12.0038
(3) c approx 3.0000
Agora eliminamos usando (1):
Substituímos em (2) e (3), gerando duas equações só em . Por eliminação (ou regra de Cramer 2×2) achamos:
Por fim usamos esses de volta em (1) para achar
Passo 5
Montando tudo, a curva de melhor ajuste de 2º grau ficou:
boxedp(x)=7.0432,x^2 ;-;12.0038,x ;+;3.0000
Resposta
A função do 2º grau que melhor aproxima os pontos, via mínimos quadrados (sem método matricial), é