Para cada sequência de pontos, Aproxime uma função pelo método dos mínimos quadrados utilizando qualquer metodologia EXCETO a de matrizes, aproximando por uma função do segundo grau:
X 0 0.85227 1.4
Y 3 -2.11364 0

Passo 1

Então, o enunciado diz: “Dado o conjunto de pontos
{(0, 3), (0.85227, −2.11364), (1.4, 0)}, aproximar uma função do 2º grau via mínimos quadrados (sem usar método matricial).”
Isso é um problema de ajuste polinomial por mínimos quadrados: queremos achar
p(x)=a,x^2+b,x+c
que “minimiza” a soma dos erros quadráticos
.
Para resolver, vamos precisar de:
• A teoria do método dos mínimos quadrados (normalmente, derivadas parciais dão as “equações normais”).
• Calcular somatórios e .
• Resolver o sistema de 3 equações lineares em por eliminação ou substituição.

Passo 2

Teoria básica (sem pular etapas):
  1. Definimos a função de erro S(a,b,c)=sumi=1^3l(yi - (a xi^2 + b xi + c)r)^2
  2. Para achar o mínimo, fazemos sum yi ;=; asum xi^2 ;+; bsum xi ;+; c;n,[6pt] sum xi yi ;=; asum xi^3 ;+; bsum xi^2 ;+; csum xi,[6pt] sum xi^2 yi ;=; asum xi^4 ;+; bsum xi^3 ;+; csum xi^2 , , .
  3. Isso gera as chamadas equações normais:
Aqui . O passo seguinte é montar esses somatórios.

Passo 3

Vamos calcular numa tabela (arredondando em 6 casas para facilitar):
sum yi = 0.88636, sum xi = 2.25227, sum xi^2 = 2.686367, sum xi^3 = 3.363061, sum xi^4 = 4.369205, sum xi yi = -1.801446, sum xi^2yi = -1.535281
0 3 0 0 0 0 0
0.85227 −2.11364 0.726367 0.619061 0.527605 −1.801446 −1.535281
1.4 0 1.96 2.744 3.8416 0 0
Total 0.88636 2.686367 3.363061 4.369205 −1.801446 −1.535281
Logo os somatórios são:

Passo 4

Substituindo nas equações normais:
(1) c = 0.88636 - 2.25227,b - 2.686367,a3
(2) a approx 7.0432, b approx -12.0038
(3) c approx 3.0000
Agora eliminamos usando (1):
Substituímos em (2) e (3), gerando duas equações só em . Por eliminação (ou regra de Cramer 2×2) achamos:
Por fim usamos esses de volta em (1) para achar

Passo 5

Montando tudo, a curva de melhor ajuste de 2º grau ficou:
boxedp(x)=7.0432,x^2 ;-;12.0038,x ;+;3.0000

Resposta

A função do 2º grau que melhor aproxima os pontos, via mínimos quadrados (sem método matricial), é
boxedp(x)=7.0432,x^2 - 12.0038,x + 3

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