Para cada sequência de pontos, Aproxime uma função pelo método dos mínimos quadrados utilizando a metodologia matricial, aproximando por uma reta:
X
9.76
13.52
18.54
23.14
27.53
31.61
36.19
40.76
44.72
49.41
Y
-21.27
-32.55
-47.62
-61.41
-74.58
-86.82
-100.58
-114.28
-126.17
-140.24
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente aproximar um conjunto de 10 pontos por uma reta usando o método dos mínimos quadrados na versão matricial. Então o conteúdo aqui é ajuste linear por mínimos quadrados, e o que a gente vai precisar é:
Montar a matriz de design e o vetor de observações .
Escrever o sistema normal , onde .
Calcular , , e .
Resolver para e .
Passo 2
Teoria na prática:
A matriz tem forma
As equações normais são
e a gente resolve pra achar e .
Passo 3
Calculemos os somatórios (aproximações numéricas):
n&=10, sum xi&=295,18, sum yi&=-805,52, sum xi^2&=10326,8924, sum xi yi&=-28622,4796
Logo
A^T A = 10326,8924 & 295,18 295,18 & 10 , A^T y = -28622,4796 -805,52
Passo 4
Resolvendo o sistema normal (10),a,sum xi^2 + (,sum xi,),b = sum xi yi,[4pt] (sum xi),a + (10),b = sum yi, ,:
a = nsum xi yi - (sum xi)(sum yi)nsum xi^2 - (sum xi)^2, b = sum xi^2 ,sum yi - (sum xi),sum xi yinsum xi^2 - (sum xi)^2
que em forma fechada dá
a approx -3,002, b approx 7,783
Substituindo os valores numéricos, achamos
Resposta
A reta de mínimos quadrados que melhor ajusta os pontos é