Para cada série a seguir, justifique se a mesma converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{n}+\cos (1 / n)}{n^{3 / 2}} .

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt[n]{n}+\cos(1/n)}{n^{3/2}}.
O conteúdo é séries de termos positivos e vamos aplicar o teste da comparação pelo limite usando a p-série \sum 1/n^{3/2}, que converge pois 3/2>1.

Passo 2

Estudamos primeiro
\sqrt[n]{n}=n^{1/n}.
Tomando logaritmo,
\ln(n^{1/n})=\frac{\ln n}{n}\to0\quad(n\to\infty),
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\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=e^0=1.

Passo 3

Agora analisamos \cos(1/n). Como 1/n\to0 e \cos é contínua, temos
\lim_{n\to\infty}\cos(1/n)=\cos(0)=1.

Passo 4

Somando esses limites,
\lim_{n\to\infty}\bigl(\sqrt[n]{n}+\cos(1/n)\bigr)=1+1=2.
Se definirmos
a_n=\frac{\sqrt[n]{n}+\cos(1/n)}{n^{3/2}} \quad\text{e}\quad b_n=\frac1{n^{3/2}},
então
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\bigl(\sqrt[n]{n}+\cos(1/n)\bigr)=2.
Como \sum b_n converge (p-série com p=3/2), pelo teste da comparação pelo limite a série \sum a_n também converge.

Resposta

A série converge.

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