Para cada série a seguir, justifique se a mesma converge ou diverge.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln (n)^{2} \cdot n}.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln(n)^{2}\,n}.
O conteúdo é testes de convergência para séries de termos positivos. Vamos precisar do teste da integral imprópria, que exige que a função associada seja contínua, positiva e decrescente a partir de algum x_0.

Passo 2

Defina
f(x) = \frac{1}{x\,(\ln x)^{2}}, \quad x\ge2.
Observamos que para x\ge2 temos f(x)>0. Além disso,
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl[x^{-1}(\ln x)^{-2}\bigr] <0
pois tanto x^{-1} quanto (\ln x)^{-2} decrescem. Logo f é contínua, positiva e decrescente em [2,\infty), e podemos aplicar o teste da integral.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{2}^{\infty} \frac{1}{x\,(\ln x)^{2}}\,dx.
Use a substituição \displaystyle u=\ln x, de modo que du = \frac{dx}{x}. Quando x=2, u=\ln2; quando x\to\infty, u\to\infty. Assim
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x\,(\ln x)^{2}}\,dx = \int_{\ln2}^{\infty} \frac{1}{u^{2}}\,du = \Bigl[-\tfrac{1}{u}\Bigr]_{\ln2}^{\infty} = 0 - \bigl(-\tfrac{1}{\ln2}\bigr) = \frac{1}{\ln2},
que é finito.

Passo 4

Como a integral
\displaystyle \int_{2}^{\infty}f(x)\,dx
converge, o teste da integral garante que a série
\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}f(n)
também converge.

Resposta

A série converge pelo teste da integral.

Exercícios relacionados