Para cada série a seguir, justifique se a mesma converge ou diverge.
.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
O conteúdo é testes de convergência para séries de termos positivos. Vamos precisar do teste da integral imprópria, que exige que a função associada seja contínua, positiva e decrescente a partir de algum
.
Passo 2
Defina
Observamos que para
temos
. Além disso,
pois tanto
quanto
decrescem. Logo
é contínua, positiva e decrescente em
, e podemos aplicar o teste da integral.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Use a substituição
, de modo que
. Quando
,
; quando
,
. Assim
que é finito.
Passo 4
Como a integral
converge, o teste da integral garante que a série
também converge.
converge, o teste da integral garante que a série
também converge.
Resposta
A série converge pelo teste da integral.