Para cada sequência a seguir, justifique se a mesma possui limite ou não. Em caso afirmativo, calcule lim xn :
xn=n+sin (1 / n)

Passo 1

O enunciado define a sequência
xn = n + sinl(1/nr)
e pede para verificarmos se ela possui limite (finito) quando ntoinfty. O conteúdo aqui é convergência de sequências reais e, em particular, reconhecer que um termo que cresce como n domina o termo oscilatório sin(1/n).

Passo 2

Primeiro note que a função sin está sempre limitada entre -1 e 1. Assim, para todo n>=1 vale
-1 ;<=;sinl(1/nr);<=;1
Somando n em todas as partes da desigualdade, obtemos
n - 1 ;<=;xn;<=;n + 1

Passo 3

Agora observamos os limites das extremidades:
limntoinfty(n-1)=+infty e limntoinfty(n+1)=+infty
Pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche), segue que
limntoinftyxn=+infty
Logo a sequência não converge para um número real finito, mas diverge para +infty.

Resposta

A sequência diverge e
limntoinftyxn=+infty

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