Considere o problema de valor inicial no qual se procura a solução da equação
doty=y^2
que satisfaça a condição y(0)=y0 com y0 neq 0. Mostre que a solução deste problema diverge a tempo finito t=1 / y0.
A solução é
y(t)=1y0-t
Logo a solução explode a tempo finito.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
doty = y^2, y(0)=y0neq0,
usando separação de variáveis, e que se mostre que essa solução diverge (explode) em tempo finito t=1/y0.

Passo 2

Aplicamos separação de variáveis escrevendo
dydt = y^2 Longrightarrow dyy^2 = dt

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral dyy^2 = integral dt Longrightarrow -,1y = t + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Impondo a condição inicial y(0)=y0 temos
-,1y0 = 0 + C Longrightarrow C = -,1y0
Substituindo em -1/y = t + C resulta
-1y = t - 1y0 Longrightarrow 1y = 1y0 - t

Passo 5

Invertendo, obtemos a expressão explícita
y(t) = 11y0 - t = y01 - y0,t
Vê-se que o denominador zera quando t=1/y0, o que faz y(t)toinfty. Portanto a solução explode em tempo finito.

Resposta

y(t) = y01 - y0,t,
e a explosão ocorre em t = 1/y0.

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