Para cada sequência a seguir, justifique se a mesma possui limite ou não. Em caso afirmativo, calcule lim xn :
xn=-n^3+n sin (1 / n)

Passo 1

Temos a sequência
xn = -n^3 + n,sinl(1/nr)
e queremos verificar se ela possui limite (finito ou infinito) quando ntoinfty e, em caso afirmativo, determinar esse limite.

Passo 2

Como sin(t) está sempre em [-1,1], para todo n vale
-1 <= sinl(1/nr) <= 1
Multiplicando por n e somando -n^3, obtemos
-n^3 - n ;<=; -n^3 + n,sinl(1/nr);<=;-n^3 + n,
ou seja,
-n^3 - n ;<=; xn ;<=;-n^3 + n

Passo 3

Note que
limntoinftyl(-n^3 - nr) ;=;-infty, limntoinftyl(-n^3 + nr) ;=;-infty
Pelo Teorema do Confronto, como ambos os limites das extremidades são -infty, segue que
limntoinfty xn ;=; -infty

Resposta

A sequência diverge para -infty, logo não possui limite finito;
limntoinfty xn = -infty

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