Para cada sequência a seguir, justifique se a mesma possui limite ou não. Em caso afirmativo, calcule lim xn :
xn=n^152 cos (n pi).

Passo 1

O enunciado dá a sequência
xn = n^152cos(npi)
e pede para verificar se ela tem limite quando ntoinfty e, em caso afirmativo, calcular lim xn. O conteúdo aqui é análise de limites de sequências, usando identidade trigonométrica e comportamento de funções polinomiais em infinito.

Passo 2

Usamos a identidade
cos(npi) = (-1)^n

Passo 3

Substituindo na definição de xn, obtemos
xn = n^152(-1)^n

Passo 4

Para ver se xn converge, analisamos duas subsequências de índices pares e ímpares:
limktoinfty x2k = limktoinfty (2k)^152 cdot (-1)^2k = limktoinfty (2k)^152 = +infty,
limktoinfty x2k+1 = limktoinfty (2k+1)^152 cdot (-1)^2k+1 = limktoinfty -(2k+1)^152 = -infty
Como uma subsequência tende a +infty e a outra tende a -infty, a sequência original não pode ter limite finito nem divergir para um único sinal.

Resposta

A sequência xn diverge, ou seja, não possui limite.

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