Para cada sequência a seguir, justifique se a mesma possui limite ou não. Em caso afirmativo, calcule lim xn :
xn=cos (7 n^28) sin nn.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
xn = cosl(7n^28r),sin nn
e pede para verificar se ela converge e, em caso afirmativo, calcular limntoinftyxn. O conteúdo chave aqui é o estudo de convergência de sequências usando a ideia de que funções trigonométricas são limitadas e o Teorema do Confronto (ou Squeeze).

Passo 2

Observamos que, para todo n, vale
|cosl(7n^28r)|<=1 e |sin n|<=1.
Logo, o produto dos dois termos também é limitado:
l|cos(7n^28),sin nr|<=1

Passo 3

Dessa forma,
|xn| = l|cos(7n^28),sin nnr| = l|cos(7n^28),sin nr|n <= 1n

Passo 4

Como limntoinfty1n=0, pelo Teorema do Confronto concluímos que
limntoinftyxn = 0

Resposta

limntoinftyxn = 0

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