Para cada sequência a seguir, justifique se a mesma possui limite ou não. Em caso afirmativo, calcule lim xn :
xn=n^3-n^4 sin (1 / n).

Passo 1

O enunciado dá a sequência
xn=n^3-n^4sinl(1/nr)
e pede para verificar se ela tem limite (finito) quando ntoinfty. O que vamos usar é a expansão em série de Taylor de sin x perto de x=0 para encontrar o comportamento assintótico de xn.

Passo 2

Recordando a expansão de Taylor de sin x em x=0:
sin x = x - x^36 + o(x^3)quando xto0
Tomando x=1/n, temos
sinl(1/nr) = 1n - 16,n^3 + o!l(1/n^3r)

Passo 3

Multiplicando por n^4,
n^4sinl(1/nr) = n^4l(1n - 16,n^3 + o(1/n^3)r) = n^3 - n6 + o(n)
Logo
xn = n^3 - l(n^3 - tfracn6 + o(n)r) = n6 - o(n)
Isto significa que
xn = n6l(1 + o(1)r),
portanto xnto+infty quando ntoinfty.

Passo 4

Concluímos que a sequência não converge para um valor finito, mas cresce sem limite e diverge para +infty.

Resposta

A sequência diverge para +infty (não possui limite finito).

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