Para cada sequência a seguir, justifique se a mesma possui limite ou não. Em caso afirmativo, calcule lim xn :
xn=n^1 / n

Passo 1

O enunciado pede para estudar o limite da sequência
xn = n^1/n
ou seja, verificar se existe limntoinfty xn e, em caso positivo, calculá-lo. O conteúdo principal aqui é limite de sequência, uso de logaritmo para simplificar a potência e, em seguida, L’Hospital para avaliar um limite do tipo “infinito sobre infinito”.

Passo 2

Para lidar com a potência n^1/n, vamos tomar logaritmo natural e definir
yn = ln(xn) = lnl(n^1/nr) = tfrac1n,ln n
Assim, estudar lim xn equivale a estudar lim yn e depois usar a função exponencial, que é contínua.

Passo 3

Vamos calcular
limntoinfty yn = limntoinfty ln nn
Para isso, considere a função contínua f(x) = ln xx para x > 0. Aplicando L’Hospital em
limxtoinfty ln xx,
temos
limxtoinfty ln xx = limxtoinfty ddx(ln x)ddx(x) = limxtoinfty 1/x1 = 0
Logo limntoinfty ln nn = 0, ou seja, limntoinfty yn = 0.

Passo 4

Como yn to 0 e xn = e^yn, pela continuidade de e^(cdot) segue
limntoinftyxn = limntoinftye^yn = e^lim yn = e^0 = 1

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyn^1/n = 1

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