Para cada sequência a seguir, justifique se a mesma possui limite ou não. Em caso afirmativo, calcule
:
Passo 1
O enunciado pede para estudar o limite da sequência
ou seja, verificar se existe
e, em caso positivo, calculá-lo. O conteúdo principal aqui é limite de sequência, uso de logaritmo para simplificar a potência e, em seguida, L’Hospital para avaliar um limite do tipo “infinito sobre infinito”.
Passo 2
Para lidar com a potência
, vamos tomar logaritmo natural e definir
Assim, estudar
equivale a estudar
e depois usar a função exponencial, que é contínua.
Passo 3
Vamos calcular
Para isso, considere a função contínua
para
. Aplicando L’Hospital em
temos
Logo
, ou seja,
.
Passo 4
Como
e
, pela continuidade de
segue
Resposta
A sequência converge e