Para cada sequência a seguir, justifique se a mesma possui limite ou não. Em caso afirmativo, calcule lim xn :
xn=log (n) cdot n^1 / n

Passo 1

O enunciado pede para analisar o limite da sequência
,xn = log(n),n^1/n.
O conteúdo é limite de sequência de números reais. Vamos usar o fato de que n^1/n tende a 1 e que log(n) tende a +infty, e depois aplicar a propriedade de produto de limites.

Passo 2

Analisamos a parte ,n^1/n. Seja
yn = n^1/n = e^ln(n)/n
Como
limntoinftyln(n)n = 0,
segue que
limntoinftyyn = e^0 = 1

Passo 3

Observamos que
limntoinftylog(n) = +infty,
e pelo passo anterior limntoinftyn^1/n=1neq0. Logo, o produto
xn = log(n),n^1/n
tem o mesmo comportamento assintótico de log(n), isto é, diverge para +infty.

Resposta

A sequência diverge para +infty, portanto
limntoinftyxn = +infty

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