Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
integral raizA+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função f(x)=raizA+x^2. O conteúdo aqui é integrar uma raiz quadrática usando substituição hiperbólica, aproveitando que para x=raizAsinh t temos raizA+x^2=raizAcosh t e dx=raizAcosh t,dt.

Passo 2

Fazendo a substituição
x = raizA,sinh t,
segue que
raizA + x^2 = raizA,cosh t, dx = raizA,cosh t,dt
Logo a integral vira
integral raizA+x^2,dx = integral l(raizAcosh tr)l(raizAcosh t,dtr) = Aintegral cosh^2t,dt

Passo 3

Usamos a identidade cosh^2t = tfrac12(1+cosh2t). Assim,
Aintegral cosh^2t,dt = A2integral l(1+cosh2tr),dt = A2l(t + sinh2t2r) + C

Passo 4

Reescrevendo sinh2t = 2sinh tcosh t, obtemos
A2t + A4sinh2t = A2t + A4l(2sinh tcosh tr) = A2t + x2raizA+x^2 + C

Passo 5

Falta voltar a x. Da definição x=raizAsinh t vem
t = arsinh!l(tfracxraizAr) = ln!l(x + raizA+x^2r) - ln!l(raizAr)
O termo -tfracA2lnraizA entra em C. Assim
A2t = A2lnl(x + raizA+x^2r) + C

Resposta

boxed integral raizA+x^2,dx = x2raizA+x^2 + A2ln!l(x + raizA+x^2r) + C

Exercícios relacionados