Para cada sequência a seguir, justifique se a mesma possui limite ou não. Em caso afirmativo, calcule lim xn :
xn=n^2-n^3 sin (1 / n).

Passo 1

O enunciado dá a sequência
xn=n^2-n^3sinl(tfrac1nr)
e pede para verificar se ela converge e, em caso afirmativo, calcular limntoinftyxn. O conteúdo envolve limite de sequência e expansão em série de Taylor (Maclaurin) de sin x em torno de x=0.

Passo 2

Recordamos a expansão de Taylor de sin x em torno de x=0 até a ordem x^3:
sin x = x - x^36 + o(x^3) quando xto 0

Passo 3

Aplicando essa expansão a x=tfrac1n, obtemos
sinl(tfrac1nr) = 1n - 16n^3 + ol(tfrac1n^3r)
Multiplicando por n^3,
n^3sinl(tfrac1nr) = n^3l(1n - 16n^3 + ol(tfrac1n^3r)r) = n^2 - 16 + o(1)

Passo 4

Substituindo em xn,
xn = n^2 - n^3sinl(tfrac1nr) = n^2 - l(n^2 - tfrac16 + o(1)r) = 16 + o(1)
Logo xn tende a tfrac16 quando ntoinfty.

Resposta

limntoinftyxn = 16.

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