As funções f, h e g estão definidas pelas formulas: f(x)=raizx, g(x)=raiz1-x e h(x)=x+1. Ache as formulas para as funções 3 f, f+g, f-g, f g, fg, gf, foh, hof,fof e hoh em relação a x, e especifique o domínio de cada uma das funções.

Passo 1

Temos as funções
f(x)=raizx, cujo domínio é xmid x>=0=[0,infty);
g(x)=raiz1-x, cujo domínio é xmid1-x>=0=(-infty,1];
h(x)=x+1, cujo domínio é todo R.
O objetivo é formar as funções 3f, f+g, f-g, f,g, tfracfg, tfracgf, fcirc h, hcirc f, fcirc f e hcirc h, escrevendo a fórmula de cada uma e seu domínio, que se obtém exigindo os radicais não-negativos e os denominadores não-nulos.

Passo 2

Constante vezes f:
(3f)(x)=3,f(x)=3raizx
O domínio é o mesmo de f, ou seja
xmid x>=0=[0,infty).

Passo 3

Soma e diferença de f e g:
(f+g)(x)=raizx+raiz1-x, (f-g)(x)=raizx-raiz1-x
Para ambas precisamos de x>=0 e 1-x>=0, então
xmid0<= x<=1=[0,1].

Passo 4

Produto de f e g:
(fg)(x)=f(x),g(x)=raizx,raiz1-x=raizx(1-x)
O domínio também é a interseção de [0,infty) e (-infty,1], ou seja [0,1].

Passo 5

Quocientes:
l(tfracfgr)(x)=raizxraiz1-x, l(tfracgfr)(x)=raiz1-xraizx
Para tfracfg exigimos x>=0, 1-x>0, ou seja 0<= x<1, dom [0,1).
Para tfracgf exigimos 1-x>=0, x>0, ou seja 0< x<=1, dom (0,1].

Passo 6

Composições entre f e h:
(fcirc h)(x)=fl(h(x)r)=raizx+1,
precisa x+1>=0, logo x>=-1, dom [-1,infty).
(hcirc f)(x)=hl(f(x)r)=raizx+1,
basta x no domínio de f, isto é x>=0, dom [0,infty).

Passo 7

Composições de f com ela mesma e de h consigo:
(fcirc f)(x)=fl(f(x)r)=raizraizx=x^1/4,
como raizx>=0 sempre, basta x>=0, dom [0,infty).
(hcirc h)(x)=hl(h(x)r)=(x+1)+1=x+2,
não há restrição além de xin R, dom (-infty,infty).

Resposta

(3f)(x) = 3raizx, dom = [0,infty)
(f+g)(x) = raizx + raiz1 - x, dom = [0,1]
(f - g)(x) = raizx - raiz1 - x, dom = [0,1]
(fg)(x) = raizx(1 - x), dom = [0,1]
l(tfracfgr)(x) = tfracraizxraiz1 - x, dom = [0,1)
l(tfracgfr)(x) = tfracraiz1 - xraizx, dom = (0,1]
(f circ h)(x) = raizx + 1, dom = [-1,infty)
(h circ f)(x) = raizx + 1, dom = [0,infty)
(f circ f)(x) = x^1/4, dom = [0,infty)
(h circ h)(x) = x + 2, dom = (-infty,infty)

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