• Para cada sequência a seguir, justifique se a mesma possui limite ou não. Em caso afirmativo, calcule \lim x_{n} :
    x_{n}=n^{2}-n^{3} \sin (1 / n).

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
x_{n}=n^{2}-n^{3}\sin\bigl(1/n\bigr)
e, se ela convergir, calcular \lim_{n\to\infty}x_{n}. O conteúdo é limite de sequência e usamos expansão de Taylor para \sin(y) quando y\to0.

Passo 2

Recordamos a expansão de Taylor de primeira ordem com o termo cúbico para \sin(y):
\sin(y)=y-\frac{y^{3}}{6}+o\bigl(y^{3}\bigr)\quad(y\to0).
Substituindo y=1/n, obtemos
\sin\bigl(1/n\bigr)=\frac{1}{n}-\frac{1}{6\,n^{3}}+o\!\Bigl(\frac{1}{n^{3}}\Bigr).

Passo 3

Multiplicamos essa expansão por n^{3}:
n^{3}\sin\bigl(1/n\bigr) =n^{3}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{6\,n^{3}}+o\!\bigl(\tfrac{1}{n^{3}}\bigr)\Bigr) =n^{2}-\frac{1}{6}+o(1).

Passo 4

Agora voltamos a x_{n}:
x_{n} =n^{2}-n^{3}\sin\bigl(1/n\bigr) =n^{2}-\Bigl(n^{2}-\frac{1}{6}+o(1)\Bigr) =\frac{1}{6}+o(1).
Como o(1)\to0 quando n\to\infty, fica claro que x_{n} converge.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_{n}=\frac{1}{6}.

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