• Para cada sequência a seguir, justifique se a mesma possui limite ou não. Em caso afirmativo, calcule \lim x_{n} :
    x_{n}=\log (n) \cdot n^{1 / n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
x_{n} = \log(n)\,\bigl(n^{1/n}\bigr)
e, caso exista, determinar \lim x_{n}. O conteúdo envolvido é limites de sequências e operações com limites, em particular o limite clássico n^{1/n}\to1.

Passo 2

Reescrevemos o fator n^{1/n} usando a exponencial:
n^{1/n} = e^{\frac{\log(n)}{n}}.
Portanto
x_{n} = \log(n)\,e^{\frac{\log(n)}{n}}.

Passo 3

Analisamos separadamente cada fator:
  1. \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\log(n)}{n} = 0, logo
\lim_{n\to\infty}e^{\frac{\log(n)}{n}} = e^{0} = 1.
  1. \displaystyle \lim_{n\to\infty}\log(n) = +\infty.
Como o segundo fator diverge para +\infty e o primeiro tende a 1, o produto também diverge para +\infty.

Resposta

A sequência \bigl(x_{n}\bigr) não converge para um valor finito; tem
\lim_{n\to\infty}x_{n} = +\infty.

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