A função y=\frac{x^{3}}{3}-2 x^{2}+3 x+1, tem seu ponto de máximo em:
A) (1,3 / 2).
B) (0,1).
C) (-1,3 / 2).
D) (1,7 / 2).
E) (4,8).

Passo 1

O enunciado dá a função
y = \frac{x^{3}}{3} \;-\; 2x^{2} \;+\; 3x \;+\; 1
e pede o ponto de máximo. O conteúdo é derivada para achar extremos e teste da segunda derivada para classificar cada ponto crítico.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira
y' = \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x^{3}}{3} - 2x^{2} + 3x + 1\Bigr) = x^{2} - 4x + 3.

Passo 3

Determinar os pontos críticos resolvendo
x^{2} - 4x + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x-1)(x-3) = 0
Logo, os críticos são x=1 e x=3.

Passo 4

Usamos a segunda derivada para classificar cada ponto:
y'' = \frac{d}{dx}(x^{2}-4x+3) = 2x - 4.
Em x=1 temos
y''(1) = 2\cdot1 - 4 = -2 < 0,
logo x=1 é ponto de máximo local.
Em x=3 temos
y''(3) = 2\cdot3 - 4 = 2 > 0,
logo x=3 é ponto de mínimo local.

Passo 5

Calculamos o valor de y em x=1:
y(1) = \frac{1^{3}}{3} - 2\cdot1^{2} + 3\cdot1 + 1 = \frac{1}{3} - 2 + 3 + 1 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}.

Resposta

O único ponto de máximo local é
\bigl(1,\tfrac{7}{3}\bigr),
que não coincide com nenhuma das alternativas listadas.

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