Calcule as integrais e derive o resultado para conferir a resposta.
\int\left(e^{t}-\sqrt[4]{16 t}+\frac{3}{t^{3}}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int\Bigl(e^{t}-\sqrt[4]{16\,t}+\frac{3}{t^{3}}\Bigr)\,dt
que é uma aplicação direta das regras de integração: linearidade, integral da exponencial e regra da potência para termos do tipo t^{n}.

Passo 2

Reescrevemos o termo com raiz em potência e simplificamos:
\sqrt[4]{16\,t} = (16\,t)^{\tfrac14} = 16^{\tfrac14}\,t^{\tfrac14} = 2\,t^{\tfrac14}.
Assim o integrando fica
e^{t} - 2\,t^{\tfrac14} + 3\,t^{-3}.

Passo 3

Pela linearidade da integral,
\int\bigl(e^{t}-2\,t^{\tfrac14}+3\,t^{-3}\bigr)\,dt =\int e^{t}\,dt \;-\;2\int t^{\tfrac14}\,dt \;+\;3\int t^{-3}\,dt.
Aplicamos a regra da exponencial e a regra da potência \displaystyle\int t^{n}dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}.

Passo 4

Calculamos cada termo:
\int e^{t}\,dt = e^{t},
-2\int t^{\tfrac14}\,dt = -2\;\frac{t^{\tfrac54}}{\tfrac54} = -2\;\frac{4}{5}\,t^{\tfrac54} = -\frac{8}{5}\,t^{\tfrac54},
3\int t^{-3}\,dt = 3\;\frac{t^{-2}}{-2} = -\frac{3}{2}\,t^{-2}.

Passo 5

Somando os resultados e acrescentando a constante de integração C, obtemos a antiderivada
F(t) = e^{t} - \frac{8}{5}\,t^{\tfrac54} - \frac{3}{2}\,t^{-2} + C.

Passo 6

Para conferir, derivamos F(t):
F'(t) = e^{t} - \frac{8}{5}\,\frac{5}{4}\,t^{\tfrac14} - \frac{3}{2}(-2)\,t^{-3} = e^{t} -2\,t^{\tfrac14} +3\,t^{-3},
que coincide com o integrando original.

Resposta

F(t)=e^{t} -\frac{8}{5}\,t^{\tfrac54} -\frac{3}{2}\,t^{-2} + C.

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