Para cada sequência verifique se ela é crescente, decrescente ou não-monótona. E mais, determine quais são limitadas e quais convergem?
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede três coisas:
- Verificar se a sequência é crescente, decrescente ou não-monótona.
- Determinar se a sequência é limitada.
- Determinar se a sequência converge (e, se possível, justificar).
Informações importantes fornecidas: a fórmula da sequência válida para
.
Passo 2
Vamos entender o que vale
conforme a paridade de
.
- Se
é par então . - Se
é ímpar então .
Substituindo na definição de
:
- Para
par:
- Para
ímpar:
Logo os termos da sequência alternam entre
e
. Exemplos dos primeiros termos:
Passo 3
Definição prática de monotonicidade:
- A sequência é (não estritamente) crescente se para todo
vale . - É (não estritamente) decrescente se para todo
vale . - Se houver índices em que a desigualdade muda de sentido, a sequência não é monotônica.
Calcule a diferença entre termos consecutivos:
Fatorando,
- Se
é par então e : decresce nesse passo. - Se
é ímpar então e : cresce nesse passo.
Portanto a diferença muda de sinal conforme
e a sequência sobe e desce alternadamente (1→5 sobe, 5→1 desce). Conclusão: a sequência não é monotônica (não é nem crescente nem decrescente).
Passo 4
Definição prática de sequência limitada:
- Dizemos que a sequência é limitada superiormente se existe
tal que para todo . - Limitada inferiormente se existe
tal que para todo . - Limitada se é limitada tanto superior quanto inferiormente.
Pelo passo 2 vimos que os únicos valores que
assume são
e
. Logo para todo
Assim pode-se escolher, por exemplo,
e
, e a sequência é limitada.
Passo 5
Definição prática de convergência: a sequência
converge para
se os termos ficam arbitrariamente próximos de
para
suficientemente grande (formalmente: para todo
existe
tal que
para todo
).
Uma maneira simples de testar é olhar subsequências:
- Considere a subsequência dos índices pares: para todo
,
que é constante, portanto
.
- Considere a subsequência dos índices ímpares: para todo
,
que é constante, portanto
.
Se a sequência original tivesse limite
, todas as suas subsequências também teriam limite
. Aqui as duas subsequências convergem a limites distintos (
e
). Logo a sequência
não converge (o limite não existe).
Resposta
Não-monótona (alterna entre
e
).
Limitada: sim ( para todo
).
Converge: não (subsequências par/ímpar têm limites e
, diferentes).
Limitada: sim (
Converge: não (subsequências par/ímpar têm limites