Para cada sequência verifique se ela é crescente, decrescente ou não-monótona. E mais, determine quais são limitadas e quais convergem?
\quad a_{n}=2(-1)^{n}+3.

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=2(-1)^{n}+3
e pede três coisas:
  • Verificar se a sequência é crescente, decrescente ou não-monótona.
  • Determinar se a sequência é limitada.
  • Determinar se a sequência converge (e, se possível, justificar).
Informações importantes fornecidas: a fórmula da sequência válida para n\in\mathbb{N}.

Passo 2

Vamos entender o que vale (-1)^{n} conforme a paridade de n.
  • Se n é par então (-1)^{n}=1.
  • Se n é ímpar então (-1)^{n}=-1.
Substituindo na definição de a_n:
  • Para n par:
a_{n}=2\cdot 1 + 3 = 5.
  • Para n ímpar:
a_{n}=2\cdot(-1) + 3 = 1.
Logo os termos da sequência alternam entre 1 e 5. Exemplos dos primeiros termos:
a_{1}=1,\quad a_{2}=5,\quad a_{3}=1,\quad a_{4}=5,\\ \dots

Passo 3

Definição prática de monotonicidade:
  • A sequência é (não estritamente) crescente se para todo n vale a_{n+1}\ge a_n.
  • É (não estritamente) decrescente se para todo n vale a_{n+1}\le a_n.
  • Se houver índices em que a desigualdade muda de sentido, a sequência não é monotônica.
Calcule a diferença entre termos consecutivos:
a_{n+1}-a_n = 2\big((-1)^{n+1}-(-1)^n\big).
Fatorando,
a_{n+1}-a_n = 2(-1)^n\big((-1)-1\big)=2(-1)^n(-2)=-4(-1)^n.
  • Se n é par então (-1)^n=1 e a_{n+1}-a_n=-4<0: decresce nesse passo.
  • Se n é ímpar então (-1)^n=-1 e a_{n+1}-a_n=4>0: cresce nesse passo.
Portanto a diferença muda de sinal conforme n e a sequência sobe e desce alternadamente (1→5 sobe, 5→1 desce). Conclusão: a sequência não é monotônica (não é nem crescente nem decrescente).

Passo 4

Definição prática de sequência limitada:
  • Dizemos que a sequência é limitada superiormente se existe M tal que a_n\le M para todo n.
  • Limitada inferiormente se existe m tal que a_n\ge m para todo n.
  • Limitada se é limitada tanto superior quanto inferiormente.
Pelo passo 2 vimos que os únicos valores que a_n assume são 1 e 5. Logo para todo n
1 \le a_n \le 5.
Assim pode-se escolher, por exemplo, m=1 e M=5, e a sequência é limitada.

Passo 5

Definição prática de convergência: a sequência (a_n) converge para L se os termos ficam arbitrariamente próximos de L para n suficientemente grande (formalmente: para todo \varepsilon>0 existe N tal que |a_n-L|<\varepsilon para todo n\ge N).
Uma maneira simples de testar é olhar subsequências:
  • Considere a subsequência dos índices pares: para todo k,
a_{2k}=5,
que é constante, portanto \lim_{k\to\infty}a_{2k}=5.
  • Considere a subsequência dos índices ímpares: para todo k,
a_{2k-1}=1,
que é constante, portanto \lim_{k\to\infty}a_{2k-1}=1.
Se a sequência original tivesse limite L, todas as suas subsequências também teriam limite L. Aqui as duas subsequências convergem a limites distintos ( 5 e 1). Logo a sequência (a_n) não converge (o limite não existe).

Resposta

Não-monótona (alterna entre 1 e 5).
Limitada: sim ( 1\le a_n\le5 para todo n).
Converge: não (subsequências par/ímpar têm limites 5 e 1, diferentes).

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