Para cada uma das sequências abaixo diga se a mesma converge ou diverge. Caso ela convirja, calcule seu limite.
a_{n}=\frac{n^{4}}{1+n^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
a_{n} = \frac{n^{4}}{1 + n^{3}}
e decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo envolve limites de sequências e comparação de termos de maior grau em n.

Passo 2

Para estudar o comportamento de a_{n} quando n\to\infty, dividimos numerador e denominador pelo maior termo de n que aparece no denominador, que é n^{3}. Temos
a_{n} = \frac{\displaystyle \frac{n^{4}}{n^{3}}}{\displaystyle \frac{1}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}} = \frac{n}{\frac{1}{n^{3}} + 1}.

Passo 3

Observamos que \frac{1}{n^{3}}\to 0 quando n\to\infty. Logo, para n grande,
a_{n} \approx \frac{n}{0 + 1} = n.
E sabemos que \lim_{n\to\infty} n = +\infty.

Passo 4

Portanto
\lim_{n\to\infty} a_{n} = +\infty,
ou seja, a sequência diverge (cresce sem limite superior finito).

Resposta

A sequência diverge, pois \lim_{n\to\infty} a_{n} = +\infty.

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