Para cada uma das sequências abaixo diga se a mesma converge ou diverge. Caso ela convirja, calcule seu limite.
a_{n}=\left(1+\frac{4}{n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_{n} = \bigl(1 + \tfrac{4}{n}\bigr)^{n}
e pede para decidir se ela converge ou diverge. Caso convirja, calcular o limite. O conteúdo aqui é limite de sequência exponencial e definição do número e.

Passo 2

Para encontrar o limite, é conveniente usar o logaritmo natural. Definimos \ln a_{n} = n \,\ln\!\bigl(1 + \tfrac{4}{n}\bigr).
Sabemos que
\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1.
Logo, tomando x = 4/n, temos
\frac{\ln\!\bigl(1 + \tfrac{4}{n}\bigr)}{4/n} \;\longrightarrow\; 1 \quad\text{quando }n\to\infty.

Passo 3

Com isso,
\lim_{n\to\infty} \ln a_{n} = \lim_{n\to\infty} n\,\ln\!\bigl(1 + \tfrac{4}{n}\bigr) = \lim_{n\to\infty} \frac{\ln(1 + 4/n)}{4/n}\;\cdot 4 = 4.

Passo 4

Como a função \exp é contínua, podemos passar do logaritmo para a própria sequência:
\lim_{n\to\infty} a_{n} = \exp\!\Bigl(\lim_{n\to\infty} \ln a_{n}\Bigr) = e^{4}.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty} a_{n} = e^{4}.

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