Considere a sequência \left(a_{n}\right) dada por
a_{1}=1, \quad a_{n+1}=1+\frac{1}{1+a_{n}} .
a) Encontre os 5 primeiro termos da sequência a_{n}.
b) Assumindo que a sequência ( a_{n} ) é convergente, calcule seu limite.

Passo 1

O enunciado define a sequência \left(a_{n}\right) por
a_{1}=1,\quad a_{n+1}=1+\frac{1}{1+a_{n}}
e pede:
a) os cinco primeiros termos de \left(a_{n}\right);
b) assumindo que \left(a_{n}\right) converge, determinar seu limite.
O conteúdo envolvido é iteração de recursão para gerar termos e resolução de equação para o limite.

Passo 2

Para obter a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}, aplicamos a relação recursiva sucessivamente:
a_{2}=1+\frac{1}{1+a_{1}} =1+\frac{1}{1+1} =1+\frac{1}{2} =\frac{3}{2},
a_{3}=1+\frac{1}{1+a_{2}} =1+\frac{1}{1+\tfrac{3}{2}} =1+\frac{1}{\tfrac{5}{2}} =1+\frac{2}{5} =\frac{7}{5},
a_{4}=1+\frac{1}{1+a_{3}} =1+\frac{1}{1+\tfrac{7}{5}} =1+\frac{1}{\tfrac{12}{5}} =1+\frac{5}{12} =\frac{17}{12},
a_{5}=1+\frac{1}{1+a_{4}} =1+\frac{1}{1+\tfrac{17}{12}} =1+\frac{1}{\tfrac{29}{12}} =1+\frac{12}{29} =\frac{41}{29}.

Passo 3

Assumindo convergência, seja
L = \lim_{n\to\infty}a_{n}.
Como a_{n+1}=1+\tfrac{1}{1+a_{n}} e ambos os lados tendem a L, temos
L = 1 + \frac{1}{1 + L}.

Passo 4

Multiplicando por (1+L) e rearranjando,
L(1+L) = 1 + L + 1 \quad\Longrightarrow\quad L^{2} = 2 \quad\Longrightarrow\quad L = \pm\sqrt{2}.
Como a_{n}>0 para todo n, escolhemos a raiz positiva:
L = \sqrt{2}.

Resposta

Os cinco primeiros termos são
a_{1}=1,\quad a_{2}=\tfrac{3}{2},\quad a_{3}=\tfrac{7}{5},\quad a_{4}=\tfrac{17}{12},\quad a_{5}=\tfrac{41}{29}.
O limite, assumindo convergência, é
\lim_{n\to\infty}a_{n}=\sqrt{2}.

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