Calcule a soma da série
\sum_{n=1}^{+\infty}\left[\frac{1}{3^{n}}+\frac{3}{5^{n}}\right]

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[\frac{1}{3^{n}}+\frac{3}{5^{n}}\Bigr].
Aqui a ideia é reconhecer que cada parcela é uma série geométrica. Lembre que, se |r|<1, então
\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}=\frac{r}{1-r}.
Com isso, vamos separar a soma em duas partes.

Passo 2

Escrevendo a soma como a união de duas séries, temos
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[\frac{1}{3^{n}}+\frac{3}{5^{n}}\Bigr] =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}} \;+\;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{5^{n}}.
Agora basta calcular cada uma separadamente.

Passo 3

Para a primeira série a razão é r=\tfrac{1}{3}, logo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}} =\frac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}} =\frac{1/3}{2/3} =\frac12.

Passo 4

Na segunda série podemos fatorar o 3 e usar r=\tfrac{1}{5}:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{5^{n}} =3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{5^{n}} =3\cdot\frac{\tfrac{1}{5}}{1-\tfrac{1}{5}} =3\cdot\frac{1/5}{4/5} =3\cdot\frac14 =\frac34.

Passo 5

Somando os resultados das duas séries, chega-se a
\frac12+\frac34 =\frac{2}{4}+\frac{3}{4} =\frac{5}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{4}

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