Para cada uma das sequências, indique qual o número que se segue e descubra o termo geral.
Passo 1
O enunciado dá a sequência de números
e pede duas coisas:
e pede duas coisas:
- o número que se segue (ou seja, o quinto termo);
- o termo geral da sequência (uma fórmula que dê o
-ésimo termo).
Informações explícitas extraídas do enunciado:
- Primeiro termo:
. - Segundos termos conhecidos:
, , .
Passo 2
Vamos olhar as diferenças entre termos consecutivos para detectar um padrão simples (esse é o primeiro passo prático em provas: calcular diferenças).
Calcule:
As diferenças são todas iguais a
. Quando as diferenças entre termos consecutivos são constantes, a sequência é uma progressão aritmética (PA). Numa PA, existe um número fixo chamado razão, que vou denotar por
. Aqui
.
Explicando a ideia (passo-a-passo didático):
- Uma progressão aritmética é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando a mesma quantidade (
) ao termo anterior. - Se
é o primeiro termo e é a razão, então o segundo termo é , o terceiro , e assim por diante.
Passo 3
Usando a definição de PA, o
-ésimo termo é dado pela fórmula (vou explicar o que cada símbolo significa):
-
= termo na posição . -
= primeiro termo. -
= razão (diferença comum).
A fórmula geral é
Essa fórmula vem do fato de que, para chegar ao termo
, somamos
exatamente
vezes ao primeiro termo.
Passo 4
Agora aplico a fórmula com os valores que temos:
e
.
Faço a distributiva para simplificar:
Portanto o termo geral é
.
Vou verificar rapidamente para os primeiros termos para garantir que está correto:
-
(confere), -
(confere), -
(confere), -
(confere).
Passo 5
Com a fórmula em mãos, o próximo (quinto) termo é simplesmente
. Calculo de duas formas para fixar a ideia:
Método 1 (somando a razão ao termo anterior):
Método 2 (usando a fórmula do termo geral):
Ambos dão
, então o próximo número da sequência é
.
Dica rápida para a prova: ao ver uma sequência, sempre calcule as primeiras diferenças. Se elas forem constantes, é PA e vale usar
. Se as diferenças não forem constantes, tente diferenças de segunda ordem (para ver se é quadrática) ou procure outros padrões.