Para cada uma das sequências, indique qual o número que se segue e descubra o termo geral.
9,21,33,45, \ldots

Passo 1

O enunciado dá a sequência de números
\;9,21,33,45,\ldots\;
e pede duas coisas:
  • o número que se segue (ou seja, o quinto termo);
  • o termo geral da sequência (uma fórmula que dê o n-ésimo termo).
Informações explícitas extraídas do enunciado:
  • Primeiro termo: \;a_1=9.
  • Segundos termos conhecidos: \;a_2=21, \;a_3=33, \;a_4=45.

Passo 2

Vamos olhar as diferenças entre termos consecutivos para detectar um padrão simples (esse é o primeiro passo prático em provas: calcular diferenças).
Calcule:
a_2-a_1 = 21-9 = 12,
a_3-a_2 = 33-21 = 12,
a_4-a_3 = 45-33 = 12.
As diferenças são todas iguais a \;12. Quando as diferenças entre termos consecutivos são constantes, a sequência é uma progressão aritmética (PA). Numa PA, existe um número fixo chamado razão, que vou denotar por \;d. Aqui \;d=12.
Explicando a ideia (passo-a-passo didático):
  • Uma progressão aritmética é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando a mesma quantidade ( d) ao termo anterior.
  • Se \;a_1 é o primeiro termo e \;d é a razão, então o segundo termo é \;a_2=a_1+d, o terceiro \;a_3=a_2+d=a_1+2d, e assim por diante.

Passo 3

Usando a definição de PA, o n-ésimo termo é dado pela fórmula (vou explicar o que cada símbolo significa):
  • \;a_n = termo na posição n.
  • \;a_1 = primeiro termo.
  • \;d = razão (diferença comum).
    A fórmula geral é
a_n = a_1 + (n-1)\,d.
Essa fórmula vem do fato de que, para chegar ao termo n, somamos d exatamente (n-1) vezes ao primeiro termo.

Passo 4

Agora aplico a fórmula com os valores que temos: \;a_1=9 e \;d=12.
a_n = 9 + (n-1)\cdot 12.
Faço a distributiva para simplificar:
a_n = 9 + 12n - 12.
a_n = 12n - 3.
Portanto o termo geral é \;a_n=12n-3.
Vou verificar rapidamente para os primeiros termos para garantir que está correto:
  • n=1:\;a_1=12\cdot1-3=9 (confere),
  • n=2:\;a_2=12\cdot2-3=24-3=21 (confere),
  • n=3:\;a_3=12\cdot3-3=36-3=33 (confere),
  • n=4:\;a_4=12\cdot4-3=48-3=45 (confere).

Passo 5

Com a fórmula em mãos, o próximo (quinto) termo é simplesmente a_5. Calculo de duas formas para fixar a ideia:
Método 1 (somando a razão ao termo anterior):
a_5 = a_4 + d = 45 + 12 = 57.
Método 2 (usando a fórmula do termo geral):
a_5 = 12\cdot 5 - 3 = 60 - 3 = 57.
Ambos dão 57, então o próximo número da sequência é 57.
Dica rápida para a prova: ao ver uma sequência, sempre calcule as primeiras diferenças. Se elas forem constantes, é PA e vale usar a_n=a_1+(n-1)d. Se as diferenças não forem constantes, tente diferenças de segunda ordem (para ver se é quadrática) ou procure outros padrões.

Resposta

57
a_n=12n-3

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