Nos Exercícios 41-44, determine a declividade e a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto especificado.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
no ponto dado:
- Determinar a declividade (ou seja, a inclinação, o coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico de
no ponto . - Determinar a equação da reta tangente nesse mesmo ponto.
Informações fornecidas:
- A função é
. - O ponto de tangência é
. (Nota: e , logo , consistência conferida.) - Domínio relevante:
(pois aparecem radicais e divisão por ).
Passo 2
Conceito chave que vamos usar (explicado de forma simples): a declividade da reta tangente ao gráfico de
em
é dada pela derivada de
avaliada em
, isto é, pela razão
. A derivada representa a taxa de variação instantânea de
em torno de
.
Ferramenta que aplicaremos: regra do poder (power rule). Ela diz o seguinte:
Aqui cada símbolo significa:
-
é a variável independente. -
é o expoente (pode ser inteiro ou racional). -
é a derivada de em .
Vamos aplicar essa regra às potências que aparecem quando escrevemos raízes como potências fracionárias.
Passo 3
Reescrever
em potências para aplicar a regra do poder:
Agora derivamos termo a termo usando a regra do poder:
Portanto, somando as duas contribuições,
Passo 4
Simplificar
para uma forma mais manejável (passo a passo de álgebra):
Primeiro, fatorar em evidência:
Primeiro, fatorar
Reescrevendo sem potências negativas, uma forma equivalente é
Essa forma é prática para avaliar em
. Calcular:
Substituindo em
:
Portanto a declividade da reta tangente em
é
.
Passo 5
Agora achamos a equação da reta tangente usando a forma ponto-declive (point-slope):
A fórmula é
A fórmula é
onde
é o ponto de tangência e
é a declividade. Aqui
e
. Substituindo:
Podemos deixar assim ou transformar para a forma
. Desenvolvendo:
Calcular os termos constantes:
Logo
Resposta
Declividade:
Equação da reta tangente:
Equação da reta tangente: