Nos Exercícios 41-44, determine a declividade e a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto especificado.
f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}} ;\left(4, \frac{5}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f no ponto dado:
  • Determinar a declividade (ou seja, a inclinação, o coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico de f no ponto \left(4,\tfrac{5}{2}\right).
  • Determinar a equação da reta tangente nesse mesmo ponto.
Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
  • O ponto de tangência é \left(4,\dfrac{5}{2}\right). (Nota: \sqrt{4}=2 e \dfrac{1}{\sqrt{4}}=\dfrac{1}{2}, logo f(4)=2+\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{2}, consistência conferida.)
  • Domínio relevante: x>0 (pois aparecem radicais e divisão por \sqrt{x}).

Passo 2

Conceito chave que vamos usar (explicado de forma simples): a declividade da reta tangente ao gráfico de f em x=a é dada pela derivada de f avaliada em a, isto é, pela razão \,f'(a)\,. A derivada representa a taxa de variação instantânea de f em torno de a.
Ferramenta que aplicaremos: regra do poder (power rule). Ela diz o seguinte:
\text{Se }g(x)=x^{n}\text{ com }n\text{ constante, então }g'(x)=n\,x^{n-1}.ã
Aqui cada símbolo significa:
  • x é a variável independente.
  • n é o expoente (pode ser inteiro ou racional).
  • g'(x) é a derivada de g em x.
Vamos aplicar essa regra às potências que aparecem quando escrevemos raízes como potências fracionárias.

Passo 3

Reescrever f em potências para aplicar a regra do poder:
f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{1/2}+x^{-1/2}.
Agora derivamos termo a termo usando a regra do poder:
\text{Derivada de }x^{1/2}\text{ é }\frac{1}{2}x^{-1/2}, \qquad \text{Derivada de }x^{-1/2}\text{ é }-\frac{1}{2}x^{-3/2}.éé
Portanto, somando as duas contribuições,
f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}-\frac{1}{2}x^{-3/2}.

Passo 4

Simplificar f'(x) para uma forma mais manejável (passo a passo de álgebra):
Primeiro, fatorar \frac{1}{2}x^{-3/2} em evidência:
f'(x)=\frac{1}{2}x^{-3/2}\bigl(x-1\bigr).
Reescrevendo sem potências negativas, uma forma equivalente é
f'(x)=\frac{x-1}{2x^{3/2}}.
Essa forma é prática para avaliar em x=4. Calcular:
x^{1/2}=\sqrt{4}=2,\qquad x^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8.
Substituindo em f'(x):
f'(4)=\frac{4-1}{2\cdot 8}=\frac{3}{16}.
Portanto a declividade da reta tangente em x=4 é \dfrac{3}{16}.

Passo 5

Agora achamos a equação da reta tangente usando a forma ponto-declive (point-slope):
A fórmula é
y-y_0=m(x-x_0),
onde (x_0,y_0) é o ponto de tangência e m é a declividade. Aqui (x_0,y_0)=\left(4,\tfrac{5}{2}\right) e m=\dfrac{3}{16}. Substituindo:
y-\frac{5}{2}=\frac{3}{16}\bigl(x-4\bigr).
Podemos deixar assim ou transformar para a forma y=mx+b. Desenvolvendo:
y=\frac{3}{16}x-\frac{3}{16}\cdot 4+\frac{5}{2}.
Calcular os termos constantes:
\frac{3}{16}\cdot 4=\frac{12}{16}=\frac{3}{4},\qquad \frac{5}{2}=\frac{10}{4}=\frac{40}{16}.
Logo
y=\frac{3}{16}x+\left(\frac{40}{16}-\frac{12}{16}\right)=\frac{3}{16}x+\frac{28}{16}=\frac{3}{16}x+\frac{7}{4}.

Resposta

Declividade: \dfrac{3}{16}
Equação da reta tangente: y=\dfrac{3}{16}x+\dfrac{7}{4}

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