Nos Exercícios 41-44, determine a declividade e a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto especificado.
Passo 1
O enunciado dá a função e o ponto onde queremos a reta tangente:
O que pedir é:
- determinar a declividade (ou seja, a inclinação/slope) da reta tangente ao gráfico de
no ponto ; - determinar a equação dessa reta tangente.
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): a declividade da reta tangente a
num ponto de abscissa
é o valor da derivada de
em
. Em símbolos:
Na prova, usar a definição por limite para polinómios dá certo, mas é mais rápido aplicar regras de derivação que já condensam esse limite. Regras que vamos usar:
- Regra do poder (power rule): para
inteiro positivo,
- Regra da soma e da constante: a derivada da soma é a soma das derivadas; a derivada de uma constante é
.
Vou aplicar essas regras termo a termo ao polinómio.
Passo 3
Derivando cada termo de
:
-
pela regra do poder. -
. -
. -
. -
.
Somando os resultados:
Passo 4
Verificar que o ponto fornecido realmente pertence ao gráfico (boa prática na prova): calcular
.
Portanto o ponto
está correto.
Passo 5
Avaliar a derivada em
para obter a declividade
:
Conclusão: a declividade da reta tangente no ponto
é
.
Passo 6
Equação da reta tangente: usar a forma ponto-inclinação
com
e
. Substituindo:
Simplificando para a forma mais comum:
Passo 7
Dica rápida para a prova: para polinómios sempre derive termo a termo com a regra do poder; depois plugue
do ponto na derivada para obter a inclinação e use a forma ponto-inclinação para a reta. Você já chegou na resposta — manda ver na prova, tá bom!
Resposta
Declividade:
Equação da reta tangente:
Equação da reta tangente: