Nos Exercícios 41-44, determine a declividade e a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto especificado.
f(x)=x^{4}-3 x^{3}+2 x^{2}-x+1 ;(1,0)

Passo 1

O enunciado dá a função e o ponto onde queremos a reta tangente:
f(x)=x^{4}-3x^{3}+2x^{2}-x+1,\qquad (1,0).
O que pedir é:
  • determinar a declividade (ou seja, a inclinação/slope) da reta tangente ao gráfico de f no ponto (1,0);
  • determinar a equação dessa reta tangente.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): a declividade da reta tangente a f num ponto de abscissa a é o valor da derivada de f em a. Em símbolos:
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Na prova, usar a definição por limite para polinómios dá certo, mas é mais rápido aplicar regras de derivação que já condensam esse limite. Regras que vamos usar:
  • Regra do poder (power rule): para n inteiro positivo,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
  • Regra da soma e da constante: a derivada da soma é a soma das derivadas; a derivada de uma constante é 0.
    Vou aplicar essas regras termo a termo ao polinómio.

Passo 3

Derivando cada termo de \,f(x)=x^{4}-3x^{3}+2x^{2}-x+1:
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)=4x^{3} pela regra do poder.
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(-3x^{3}\bigr)=-3\cdot 3x^{2}=-9x^{2}.
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(2x^{2}\bigr)=2\cdot 2x=4x.
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(-x\bigr)=-1.
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(1\bigr)=0.
Somando os resultados:
f'(x)=4x^{3}-9x^{2}+4x-1.

Passo 4

Verificar que o ponto fornecido realmente pertence ao gráfico (boa prática na prova): calcular f(1).
f(1)=1^{4}-3\cdot1^{3}+2\cdot1^{2}-1+1=1-3+2-1+1=0.
Portanto o ponto (1,0) está correto.

Passo 5

Avaliar a derivada em x=1 para obter a declividade m:
f'(1)=4\cdot1^{3}-9\cdot1^{2}+4\cdot1-1=4-9+4-1=-2.
Conclusão: a declividade da reta tangente no ponto (1,0) é m=-2.

Passo 6

Equação da reta tangente: usar a forma ponto-inclinação
y-y_{0}=m(x-x_{0}),
com (x_{0},y_{0})=(1,0) e m=-2. Substituindo:
y-0=-2\bigl(x-1\bigr).
Simplificando para a forma mais comum:
y=-2x+2.

Passo 7

Dica rápida para a prova: para polinómios sempre derive termo a termo com a regra do poder; depois plugue x do ponto na derivada para obter a inclinação e use a forma ponto-inclinação para a reta. Você já chegou na resposta — manda ver na prova, tá bom!

Resposta

Declividade: m=-2
Equação da reta tangente: y=-2x+2

Exercícios relacionados